Докажем индукцией по $n$, что это утверждение справедливо для любого
$(4n+1)$-значного числа. При $n=0$ оно очевидно. Предположим, что для некоторого $n$ оно неверно, т. е. существует такое число
$\overline{a_1a_2a_3\ldots a_{4n-1}a_{4n}a_{4n+1}\mathstrut}$, что в сумме
$$
\colsep{0pt}{\begin{array}{clllllll}
\hline
&a_1&~a_2&~a_3&~\ldots&~a_{4n-1}&~a_{4n}&~a_{4n+1}\\[-4pt]
\mathllap{+~}\\[-4pt]
\hline
&a_{4n+1}&~a_{4n}&~a_{4n-1}&~\ldots&~a_3&~a_2&~a_1\\
&&~\mathllap{\gets}&&&&~\mathllap{\gets}
\end{array}}
$$
все цифры нечётны. Тогда сумма цифр $a_1+a_{4n+1}$ нечётна и в местах,
обозначенных стрелочками, не происходит переноса единицы в следующий разряд.
Поэтому в сумме $(4n-3)$-значных чисел
$$
\colsep{0pt}{\begin{array}{clll}
\hline
&a_3&~\ldots&~a_{4n-1}\\[-4pt]
\mathllap{+~}\\[-4pt]
\hline
&a_{4n-1}&~\ldots&~a_3
\end{array}}
$$
также все цифры нечётны, следовательно, наше утверждение неверно и для $n-1$. Доказательство закончено (подумайте, почему обычный «шаг индукции» —
«если верно для $n$, то верно и для $n+1$» — можно заменить шагом в обратную
сторону: «если неверно для $n$, то неверно и для $n-1$»!).
Заметим, что доказанное утверждение нельзя усилить: для чисел, у которых число цифр чётно или имеет вид $4n+3$, утверждение задачи
может не выполняться:
$$
\begin{gather*}
1\,112\,222+22\,221\,111=33\,333\,333,\\
72\,727\,262\,626+62\,626\,272\,727=135\,353\,535\,353.
\end{gather*}
$$
