Задача М413‍‍

Для каких положительных чисел $a$‍‍ верно следующее утверждение: для любой функции $f$‍,‍ определенной на отрезке $[0,1]$‍,‍ непрерывной в каждой точке этого отрезка и такой, что $f(0)=f(1)=0$‍,‍ уравнение $f(x+a)-f(x)=0$‍‍ имеет решение?

1. Выясните сначала этот вопрос для случая $a=\dfrac12$‍.‍
2. Докажите, что для $a=\dfrac1n$‍,‍ где $n$‍‍ — натуральное число, сформулированное утверждение верно.
3. Докажите, что для остальных положительных $a$‍‍ оно не верно.

При решении этой задачи может пригодиться такое свойство непрерывных функций: если функция $g$‍‍ определена на отрезке $[a,b]$‍,‍ непрерывна в каждой точке этого отрезка и на концах его принимает значения разных знаков, то между $a$‍‍ и $b$‍‍ найдется точка $c$‍,‍ в которой $g(c)=0$‍.‍