Задача М410‍‍‍

На сфере радиуса 1 проведена окружность большого круга, которую мы будем называть экватором. Нам будет удобно использовать и другие географические термины: полюс, меридиан, параллель.

1. Зададим на этой сфере функцию $f$‍,‍ ставящую в соответствие каждой точке сферы квадрат расстояния от этой точки до плоскости экватора. Проверьте, что эта функция обладает следующим свойством: $$ \begin{array}{ccc} \textit{если}~M_1{,}~M_2{,}~M_3~\textit{— концы трёх взаимно}\\ \textit{перпендикулярных радиусов сферы, то}\\ f(M_1)+f(M_2)+f(M_3)=1. \end{array}\tag{*} $$

Во всех следующих пунктах $f$‍‍ — произвольная неотрицательная функция на сфере, которая обращается в 0 во всех точках экватора и обладает свойством (*).

1. Пусть $M$‍‍ и $N$‍‍ — точки одного меридиана, расположенные между северным полюсом и экватором. Докажите, что если точка $M$‍‍ дальше от плоскости экватора, чем точка $N$‍,‍ то $f(M)\ge f(N)$‍.‍
2. Пусть $M$‍‍ и $N$‍‍ — произвольные точки сферы. Докажите, что если точка $M$‍‍ дальше от плоскости экватора, чем $N$‍,‍ то $f(M)\ge f(N)$‍.‍
3. Докажите, что функция $f$‍‍ совпадает с функцией, описанной в пункте а).