Дана окружность, её диаметр $AB$ и точка $C$ на этом диаметре.
Построить на окружности две точки $X$ и $Y$, симметричные относительно диаметра $AB$,
для которых прямая $YC$ перпендикулярна к прямой $XA$.
Всесоюзная математическая олимпиада (1970 год, 8 класс)
Пусть $K$ — точка пересечения отрезков $XY$ и $AB$; по условию $XY\perp AB$
и $XK=KY$. Для любой точки $X$ на окружности $\angle AXB=90^\circ$. Поэтому
требование $YC\perp AX$ эквивалентно каждому из следующих условий:
$$
\begin{gather*}
YC\parallel BX,\quad\angle YCB=\angle CBX,\\
\triangle CYK=\triangle KBX,\quad CK=KB.
\end{gather*}
$$
Таким образом, восставив в середине отрезка $CB$ перпендикуляр к прямой $AB$,
мы получим в пересечении его с окружностью две искомые точки (любую из них можно принять за $X$, тогда другая будет играть роль $Y$).
