Первое решение. Заметим, что $a_{2^2}=a_2+a_2=2a_2$, $a_{2^3}=a_{2^2\cdot2}=2a_2+a_2=3a_2$ и вообще $a_{2^n}=na_2$ для любого $n$. Возьмём часть последовательности $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$, $a_{2^n}$. Если последовательность строго возрастает, то, поскольку числа целые и неотрицательные, $a_{2^n}\ge2^n$. С другой стороны, $a_{2^n}=na_2$. Значит, если такая последовательность $a_1$, $\ldots$, $a_{n}$, $\ldots$ существует, то для любого $n$ должно выполняться неравенство $2^n\le na_2$. Докажем, что это невозможно; именно, покажем, что отношение $\dfrac{2^n}n$ стремится к бесконечности с ростом $n$. Обозначим отношение $\dfrac{2^n}n$ через $b_n$ и рассмотрим отношение $b_{n+1}:b_n$:
$$
\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=\dfrac{2^{n+1}}{n+1}:\dfrac{2^n}n=
2\cdot\dfrac n{n+1}=2\left(1-\dfrac1{n+1}\right)\ge\dfrac43,
$$
если $n\ge2$. Из этого следует, что $\dfrac{b_n}{b_2}\ge\left(\dfrac43\right)^{n-2}$, т. е. $b_n=\dfrac{2^n}n\ge2\cdot\left(\dfrac43\right)^{n-2}\gt\left(\dfrac43\right)^{n-2}$. Очевидно, что $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac43\right)^{n-2}=\infty$, следовательно, $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2^n}n=\infty$.
Значит, строго возрастающей последовательности $a_1$, $\ldots$, $a_{n}$, $\ldots$, о которой говорится в условии, быть не может.
Второе решение. Предположим, что такая последовательность существует. Пусть $n$ — натуральное число, большее, чем $a_2$. Тогда $a_{2n}=a_n+a_2\lt a_n+n$; значит, натуральные числа $a_{n+1}$, $a_{n+2}$, $\ldots$, $a_{2n}$ лежат в промежутке $[a_n+1,a_n+n-1]$ и различны, чего не может быть, так как в этом промежутке всего $n-1$ целых чисел.
