Задача М400‍‍

Последовательность натуральных чисел $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $a_k$‍‍ назовём универсальной для данного $N$‍,‍ если из неё можно получить вычёркиванием части членов любую последовательность из $N$‍‍ чисел, в которую каждое из чисел 1, 2, $\ldots$‍,‍ $N$‍‍ входит по одному разу.

1. Приведите пример универсальной последовательности из $N^2$‍‍ членов.
2. Приведите пример универсальной последовательности из $N^2-N+1$‍‍ членов.
3. Докажите, что любая универсальная последовательность состоит не менее чем из $\dfrac{N(N+1)}2$‍‍ членов.
4. Докажите, что при $N=4$‍‍ самая короткая универсальная последовательность состоит из 12 членов.
5. Попробуйте найти для данного $N$‍‍ как можно более короткую универсальную последовательность.