Мы сейчас решим только задачу a) (на олимпиаде школьникам 9—10 классов предлагалась именно она); решению же задач б) и в) будет посвящена заметка, которую мы опубликуем в одном из ближайших номеров журнала.
Рис. 4
Откладывая последовательно векторы $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{QM}=\overrightarrow{d}$, мы получим замкнутую ломаную (так как $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=0$). Меняя порядок следования векторов $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{d}$, можно получить несколько таких ломаных. Покажем, что среди этих ломаных есть самопересекающиеся. Для этого возьмём какую‑нибудь из наших ломаных. Если одна из её вершин, например $Q$, лежит внутри треугольника $MNP$, образованного тремя другими вершинами (рис. 4, а), то отложим вектор $\overrightarrow{QQ'}=\overrightarrow{MN}$. Так как при этом $\overrightarrow{Q'N}=\overrightarrow{QM}$, то ломаную $MNPQ$ можно заменить самопересекающейся ломаной $NPQQ'$ (рис. 4, б). Если же $MNPQ$ — выпуклая ломаная, то сначала проделаем построение, изображённое на рисунке 5.
Рис. 5Рис. 6
Итак, пусть $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{QM}=\overrightarrow{d}$, причём отрезки $NP$ и $QM$ имеют общую точку $R$ (рис. 6). Тогда $|MR|+|PR|\ge|PM|$, $|NR|+|QR|\ge|QN|$, откуда $|MR|+|PR|+|NR|+|QR|\ge|PM|+|QN|$. Но $$\begin{align*}
|PM|&=|\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QM}|=|\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}|,\\
|QN|&=|\overrightarrow{QM}+\overrightarrow{MN}|=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{d}|,
\end{align*}$$
а $|MR|+|PR|+|NR|+|QR|=|QM|+|NP|=|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}|.$
Следовательно,
$$
|\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{d}|\ge|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{d}|+|\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}|.\tag{1}
$$
Кроме того, очевидно, что $|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{c}|\ge|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|$ и что $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}|$ (см. рис. 6); поэтому
$$
|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{c}|\ge|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}|.\tag{2}
$$
Складывая неравенства (1) и (2), получим то, что требовалось.
