Мы решим более общую задачу, именно, когда $\phi(x)=\dfrac{a^{2x+k}}{a^{2x}+a}$, где $k$ — любое действительное число, и $a\gt0$ (положив $k=0$, $a=2$, получим ответ задачи М393).
Найдём выражение для $\varphi(1-x)$:
$$
\varphi(1-x)=\frac{a^{-2x+k+2}}{a^{-2x+2}+a}=\frac{a^{k+1}}{a^{2x}+a}.
$$
Сложив $\varphi(1-x)$ и $\varphi(x)$, получим:
$$
\varphi(x)+\varphi(1-x)=\frac{a^{2x+k}+a^{k+1}}{a^{2x}+a}=a^k.
$$
Пусть искомая сумма равна $S$. Тогда
$$\begin{gather*}
S=\varphi(0)+\varphi\left(\dfrac{1}{n}\right)+\ldots+\varphi\left(\dfrac{n-1}{n}\right)+\varphi(1),\\
S=\varphi(1)+\varphi\left(\frac{n-1}{n}\right)+\ldots+\varphi\left(\dfrac{1}{n}\right)+\varphi(0).
\end{gather*}$$
Складывая эти два равенства и принимая во внимание, что $$\begin{gather*}
\varphi(0)+\varphi(1)=\varphi\left(\dfrac{1}{n}\right)+\varphi\left(\dfrac{n-1}{n}\right)=\ldots\\
\ldots=\varphi(x)+\varphi(1-x)=a^k,
\end{gather*}$$
получаем
$$
2S=(n+1)a^k,
$$ то есть $S=\dfrac{1}{2}(n+1)a^k$
Итак, ответ в задаче M393 следующий:
$$
S=\dfrac{1}{2}(n+1).
$$
