Докажите, что на плоскости нельзя расположить семь прямых и семь точек так,
чтобы через каждую из точек проходили три прямые и на каждой прямой лежали три точки.
Рис. 2. Выпуклой оболочкой множества из конечного числа точек является выпуклый многоугольник с вершинами в некоторых из этих точек (или отрезок,
если все точки лежат на одной прямой).Рис. 3. Эта конфигурация почти полностью удовлетворяет требованиям задачи М36, только одну «прямую» пришлось изогнуть.
Предположим, что такое расположение семи точек и семи прямых существует.
Прежде всего докажем, что каждые две из данных точек лежат на одной из данных прямых. Действительно, если $A$ — одна из этих точек, то через
$A$ проходят три прямые, и на каждой из них лежит по две из данных точек (не
считая $A$); тем самым $A$ и любая из шести точек, отличных от $A$, лежат на одной из данных прямых. Точно так же доказывается, что каждые две из данных прямых пересекаются в одной из данных точек: если $a$ — одна из прямых, то через каждую из трёх лежащих на ней точек проходит по две прямые
(не считая $a$), и поэтому каждая из этих прямых пересекается с $a$ в одной
из данных точек. Рассмотрим теперь выпуклую оболочку множества из семи наших
точек — наименьшую выпуклую фигуру, содержащую эти семь точек.
Это будет некоторый выпуклый $n$-угольник, где $n\le7$ (его можно
получить так: вбить в данные семь точек гвозди и затем натянуть резиновую
нитку, охватывающую все эти гвозди; нитка натянется по контуру
многоугольника с вершинами в некоторых $n$ из данных точек, а все остальные
$7-n$ точек будут лежать внутри или на границе этого многоугольника; см. рис. 2). Ясно, что случай $n\ge4$ невозможен — ведь на каждой стороне
$n$-угольника должна лежать ещё одна третья точка, кроме вершин, а всего
точек семь. Случай $n=3$, когда выпуклой оболочкой является некоторый
треугольник $ABC$, тоже невозможен. Действительно, если $E$ и $F$ — точки
(из числа данных семи), которые лежат на сторонах $AB$ и $BC$, то $EF$ и $AC$ — две из данных прямых — должны пересекаться в одной из данных семи
точек, а они будут пересекаться на продолжении стороны $AC$, т. е. вне треугольника $ABC$. Получили противоречие.
Рисунок 3 поможет найти ошибку тем, кто прислал нам неверное решение
этой задачи.
