Восстановите треугольник, если на плоскости отмечены три точки: $O$ — центр описанной окружности, $P$ — центр тяжести и $H$ — основание одной из высот этого треугольника.
Точка $B_1$ лежит на окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$.
Точка $B$ лежит на окружности с диаметром $B_1H$.
Точка пересечения медианы $BM$ треугольника $ABC$ с отрезком $B_1H$ совпадает с точкой $P$ и делит отрезок $B_1H$ в отношении $2:1$.
Первые три свойства очевидны. Докажем четвёртое свойство. Пусть отрезки $BM$ и $B_1H$ пересекаются в некоторой точке $N$. Треугольники $BB_1N$ и $MHN$, очевидно, подобны. Кроме того, нетрудно установить, что $|BB_1|=2|MH|$. Отсюда следует, что $|BN|=2|NM|$ и $|B_1N|=2|NH|$. А поскольку $BM$ — медиана треугольника $ABC$ и точка $N$ делит её в отношении $2:1$, то эта точка является центром тяжести треугольника $ABC$, что и требовалось доказать.
Рис. 1Рис. 2
Перейдём теперь к построению треугольника $ABC$.
Пользуясь свойством 4), построим точку $B_1$. Для этого проведём прямую $PH$ и отложим от точки $P$ отрезок $PB_1$, равный по длине $2|PH|$.
Проведём окружность с центром в точке $O$ радиусом $|OB_1|$. На основании свойства 2) эта окружность будет описанной вокруг искомого треугольника $ABC$. В частности, на ней лежит точка $B$. На основании свойства 3) точка $B$ лежит и на окружности с диаметром $|B_1H|$. Проведём эту окружность. Точками пересечения построенных окружностей будут точки $B$ и $B_1$ (рис. 2).
Соединим точки $B$ и $B_1$ и проведём через точку $H$ прямую, параллельную отрезку $BB_1$. На основании свойства 1) на этой прямой лежат точки $A$ и $C$, которые являются точками её пересечения с уже построенной окружностью, описанной вокруг треугольника $ABC$. Таким образом, треугольник $ABC$ построен. Покажите самостоятельно, что по заданным трём точкам $O$, $P$ и $H$ треугольник $ABC$ восстанавливается однозначно.
