Задача М35‍‍‍

Первое решение. Предположим противное, т. е., что расстояние между любыми двумя точками поверхности нашего 19-гранника не больше 21. Тогда этот многогранник лежит внутри сферы радиуса 11, концентричной сфере радиуса 10, а каждая его грань лежит между сферами. Поэтому площадь каждой грани не слишком велика, а именно, не превосходит площади показанного на рисунке 1 круга, радиус которого равен $\sqrt{21}$‍.‍ В нашем многограннике 19 граней, поэтому площадь $S$‍‍ его поверхности не превосходит $$ 19[\pi(\sqrt{21})^2]=\pi(20^2-1^1)=399\pi. $$ Но многогранник описан около сферы радиуса 10. Отсюда площадь его поверхности больше площади поверхности этой сферы $4\pi\cdot10^2$‍‍‍. Итак, с одной стороны, $S\lt399\pi$‍,‍ с другой стороны, $S\gt400\pi$‍.‍ Полученное противоречие и решает задачу. (Аналогичное решение прислал нам Д. Григорьев из Ленинграда.)

В этом (нестрогом) решении мы пропустили доказательства трёх утверждений, которые начинаются с трёх выделенных выше курсивом слов: тогда, поэтому, отсюда. Мы оставляем читателю эти простые доказательства, но хотим предупредить, что хотя третье утверждение легко доказывается для выпуклого многогранника с помощью сравнения его объёма с объёмом сферы‍, тем не менее интуитивно ясное и правильное утверждение о том, что наш многогранник выпуклый, трудно доказать строго, так как само строгое определение многогранника весьма сложно. (Загляните, например, в книгу И. Лакатоса «Доказательства и опровержения», М., «Наука», 1967.)

Второе решение. Поставим более общий вопрос: какое наименьшее число граней может иметь многогранник, описанный около сферы радиуса $r$‍‍ и целиком лежащий в концентрической с ней сфере радиуса $R\gt r$‍.‍ (Вот житейская ситуация, которая подсказала автору эту задачу: каким наименьшим числом прямолинейных взмахов ножа можно срезать верхний слой кожуры апельсина, не срезав при этом ни одного куска сердцевины? Очевидно, что после срезания всего верхнего слоя кожуры остаток будет многогранником, так как на его поверхности не будет ни одного закруглённого участка, так что этот вопрос эквивалентен предыдущему.)

Мы не знаем точного ответа на этот более общий вопрос, но докажем для числа граней некоторое неравенство, которое при $r=10$‍,‍ $R=11$‍‍ показывает, что $N\gt22$‍.‍ Тем самым мы докажем, что если в условии задачи М35 вместо 19-гранника взять 22-гранник, то утверждение задачи попрежнему останется справедливым.

Итак, пусть $N$‍‍-гранник описан около сферы радиуса $r$‍‍ и целиком лежит внутри сферы радиуса $R$‍.‍ Рассмотрим какую-нибудь его грань.

Проходящая через неё плоскость отрезает от сферы шапочку (сегментную поверхность) высоты $R-r$‍.‍ Ясно, что если построить шапочки для всех граней нашего многогранника, то их объединение покроет всю внешнюю сферу. Каждая из $N$‍‍ шапочек есть сегментная поверхность высоты $R-r$‍,‍ и, следовательно, имеет площадь $2\pi R(R-r)$‍.‍ Сумма площадей всех шапочек больше площади сферы. Поэтому $N\cdot2\pi R(R-r)\gt4\pi R^2$‍,‍ отсюда $N\gt\dfrac{2R}{R-r}$‍,‍ в частности, при $R=11$‍,‍ $r=10$‍‍ получаем $N\gt22$‍.‍

Интересно, что по любому набору шапочек, целиком покрывающих внешнюю сферу, можно построить многогранник, описанный около внутренней сферы. (Докажите!) Поэтому наш вопрос про минимальное число граней полностью эквивалентен следующему вопросу. Каково минимальное число $N=N(h)$‍‍ шапочек высоты $h$‍,‍ целиком покрывающих сферу радиуса 1? (В задаче М35 $h=\dfrac1{11}$‍.)‍

Очевидно, что $N(h)\gt\dfrac2h$‍,‍ но это неравенство отражает просто тот факт, что сумма площадей шапочек больше площади сферы, в то время как интуитивно ясно, что при $h\lt1$‍‍ шапочки должны довольно сильно перекрываться. И действительно, можно доказать, что при достаточно малых $h$‍‍ $N(h)\gt1{,}2\cdot\dfrac2h$‍.‍ Попробуйте сами доказать, например, что при $h\lt1$‍‍ $$ N(h)\gt1{,}001\cdot\dfrac2h. $$ (С решениями этой задачи и других похожих задач можно познакомиться по книге Л. Фейеша Тота «Расположение на плоскости, на сфере и в пространстве», М., Физматгиз, 1958.)