По правильному тетраэдру ползают муха и два паука. Муха ползает только по рёбрам, а пауки — по всей поверхности. Максимальная скорость мухи в 2 раза больше максимальной скорости пауков.
Докажите, что при любом начальном расположении пауки смогут поймать муху.
Верно ли это, если максимальная скорость мухи более чем в 2 раза превосходит максимальную скорость пауков?
Как изменится ответ, если разрешить паукам ползать только по рёбрам тетраэдра? по всему объёму тетраэдра? (Муха по-прежнему двигается только по рёбрам.)
Обозначим максимальную скорость пауков и мухи соответственно через $v_{\text{п max}}$ и $v_{\text{м max}}$. Докажем, что, независимо от того, как разрешено двигаться паукам (по рёбрам, граням, или же по всему объёму тетраэдра), верны следующие два утверждения.
Если $v_{\text{м max}}\le2v_{\text{п max}}$, то пауки могут поймать муху при любом начальном расположении.
Если $v_{\text{м max}}\gt2v_{\text{п max}}$, то при некоторых начальных расположениях пауки не смогут поймать муху.
Ясно, что утверждение 1° достаточно доказать в самом «плохом» для пауков случае — когда им разрешено двигаться лишь по рёбрам тетраэдра; а утверждение 2°, наоборот, в самом «лучшем» для пауков случае, когда они ползают по всему объёму тетраэдра.
Обозначим вершины тетраэдра буквами $A$, $B$, $C$, $D$, точки, где находятся мухи и пауки — $\textit{М}$, $\textit{П}_1$ и $\mathit{П}_2$ соответственно. Будем считать, что длина ребра тетраэдра равна 1, и что $v_{\text{м max}}=1$.
Докажем утверждение 1°, считая, что паукам разрешено двигаться только по рёбрам тетраэдра.
Обозначим проекцию точки $\textit{М}$ на ребро $AB$ через $M'$ (если $\textit{М}$ находится на ребре, перпендикулярном ребру $AB$, то $\textit{М}'$ совпадает с серединой ребра $AB$).
Рис. 2
Стратегия пауков, обеспечивающая поимку мухи, может быть следующей.
Паук $\mathit{П}_1$ занимает вершину $A$ и движется по ребру $AB$, пока не достигнет точки $\textit{М}'$ (это обязательно когда‑нибудь произойдёт, так как $\textit{М}'$ не может выйти за точку $B$ — см. рисунок 2). Затем $\mathit{П}_1$ движется по ребру $AB$ так, чтобы всё время оставаться в точке $\textit{М}'$: он может это сделать, если муха не на ребре $AB$, поскольку $v_{\text{м}}'=v_{\text{м}}\cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между ребром $AB$ и ребром, по которому движется муха, а для любого из рёбер, кроме ребра $AB$, $\cos\alpha \le \dfrac12$ (точнее, $\cos\alpha$ равен либо $\dfrac12$, либо нулю). Но на ребро $AB$ муха попасть не сможет, так как для этого ей придётся пройти либо через вершину $A$, либо через вершину $B$, где она будет поймана пауком $\mathit{П}_1$ ввиду условия $\mathit{П}_1=\textit{М}'$.
Итак, муха не может пройти через точки $A$ и $B$: доступная ей область изображена на рисунке 3, а.
Рис. 3
Как видно из рисунков 3, б и в, паук $\mathit{П}_2$ теперь легко может поймать муху, двигаясь всё время к ней и сужая доступную ей область. Утверждение 1° доказано.
Перейдём к утверждению 2° (теперь мы считаем, что паукам разрешено двигаться по всему объёму тетраэдра). Оно непосредственно следует из следующей леммы:
Если в момент времени $t$ муха не поймана и находится в вершине тетраэдра, то за время $1$ она может переползти в другую вершину тетраэдра (т. е. в интервале времени от $t$ до $t+1$ пауки не смогут поймать муху).
Докажем эту лемму. Пусть муха находится в вершине $A$. Соединим точки $\mathit{П}_1$ и $\mathit{П}_2$, в которых сидят пауки, с этой вершиной; получим отрезки $\mathit{П}_1A$ и $\mathit{П}_2A$. Докажем, что найдётся ребро тетраэдра, исходящее из точки $A$, которое образует с каждым из отрезков $\mathit{П}_1A$ и $\mathit{П}_2A$ углы, не меньшие $30^\circ$. В самом деле, если бы такого ребра не оказалось, то один из отрезков, например, отрезок $\mathit{П}_1A$, образовывал бы угол меньше $30^\circ$ по крайней мере с двумя рёбрами, исходящими из $A$, например, с $AB$ и с $AC$. Но тогда для плоских углов трёхгранного угла $ABC\mathit{П}_1$ было бы $\widehat{BAC}=60^\circ$, $\widehat{BA\mathit{П}_1}\lt30^\circ$, $\widehat{CA\mathit{П}_1}\lt30^\circ$, что невозможно (должно быть $\widehat{BA\mathit{П}_1}+\widehat{CA\mathit{П}_1}\ge\widehat{BAC}$).
Рис. 4
Чтобы не быть пойманной, муха должна с максимальной скоростью двигаться по ребру, образующему с отрезками $\mathit{П}_1A$ и $\mathit{П}_2A$ углы, не меньшие $30^\circ$. Через единицу времени она доползёт до другого конца этого ребра. Докажем, что на выбранном ребре пауки не смогут поймать муху. Действительно, пусть какой‑нибудь паук, например $\mathit{П}_1$, поймал муху в момент времени $t+\Delta t$ в точке $P$ (принадлежащей выбранному ребру; см. рисунок 4), тогда
$$
\begin{gather*}
|AP|=\Delta t\cdot v_{\text{м max}}=\Delta t\quad(v_{\text{м max}}=1),\\
|\mathit{П}_1P|\le\Delta t\cdot v_{\text{п max}}\lt\frac12\Delta t=\frac12|AP|\quad {\left(v_{\text{п max}}\lt\frac12v_{\text{м max}}\right)}.
\end{gather*}
$$
Опустим перпендикуляр $PQ$ на $\mathit{П}_1A$; получим
$$
|\mathit{П}_1P|\ge|PQ|=|AP|\sin\widehat{\mathit{П}_1AP}\ge\frac12|AP|,
$$
поскольку $\widehat{\mathit{П}_1AP}\ge30^\circ$ в силу выбора ребра.
Итак, с одной стороны $|\mathit{П}_1P|\ge\dfrac12|AP|$, а с другой $|\mathit{П}_1P|\lt\dfrac12|AP|$ — противоречие; следовательно, пауки не смогут поймать муху в интервале времени от $t$ до $t+1$, и она доползёт до другой вершины тетраэдра. Лемма, а значит, и утверждение 2° доказаны.
