Задача М298‍‍

Запишем все несократимые дроби $\dfrac pq$‍,‍ где $0\lt p\lt q\le m$‍,‍ в порядке возрастания ($m$‍‍ — данное натуральное число). Например, при $m=5$‍‍ получится последовательность $$ \dfrac15,\quad\dfrac14,\quad\dfrac13,\quad\dfrac25,\quad\dfrac12,\quad\dfrac35,\quad\dfrac23,\quad\dfrac34,\quad\dfrac45. $$ Докажите, что для любых двух соседних дробей $\dfrac pq\lt\dfrac rs$‍‍ в такой последовательности выполняется равенство $qr-ps=1$‍.‍