Задача М2905‍‍

Лягушка покрасила точки координатной прямой в два цвета. Кузнечик, увидев раскраску, записал на бумажке рациональное число $a\gt0$‍,‍ положил бумажку в конверт и отдал лягушке. Лягушка отвернулась, и кузнечик стал прыгать по числовой прямой, начиная с точки 0: $$ 0\to a\to2a\to3a\to4a\to\ldots $$ После каждого прыжка кузнечик сообщает лягушке цвет точки, в которой он приземлился. Могла ли лягушка придумать такую раскраску, чтобы в какой-нибудь момент она смогла бы угадать число $a$‍‍ (и убедиться в своей правоте, вскрыв конверт)?