Заметим сразу, что число звеньев $n$ должно быть достаточно большим, во всяком случае, $n\gt8$. Докажем вначале (учитывая уже сделанное замечание), что любая несамопересекающаяся замкнутая ломаная с нечётным числом звеньев, не превышающим 13, обладает тем свойством, что всегда найдётся прямая, содержащая ровно одно звено этой ломаной. Предположим противное, т. е. что для такой ломаной ($n=2k+1$, $n\le13$) не существует прямой, содержащей ровно одно звено. Тогда на одной из прямых должны лежать по крайней мере три звена нашей ломаной. У этих трёх звеньев шесть концов, и из каждого конца выходит звено ломаной, т. е. всего шесть новых звеньев, причём никакие два из этих звеньев не лежат на одной прямой. Поэтому каждая прямая, содержащая одно из этих шести звеньев ломаной, должна в силу сделанного предположения содержать по крайней мере ещё одно звено, отличное от уже рассмотренных ранее ($3+6$ звеньев); значит, рассматриваемая ломаная должна иметь ещё по крайней мере шесть звеньев. Получаем, что число звеньев у такой ломаной должно быть не меньше, чем $3+6+6=15$ — противоречие.
Покажем теперь, что для любого чётного $n\ge10$ и нечётного $n\ge15$ ломаная, о которой говорится в задаче, существует. Для чётных $n\ge10$ это хорошо всем известные $\left(\dfrac n2\right)$-конечные звёзды (рисунок 3; на этом рисунке $n=10$ и $n=12$). Несамопересекающуюся замкнутую ломаную с нечётным числом звеньев, большим 13, обладающую указанным свойством, построить сложнее. Ломаная из 15 звеньев изображена на рисунке 4. Отрезая от неё последовательно прямой по два угла, получим ломаную с 17 звеньями, 19, и т. д. (рис. 5).
