Рассмотрим всевозможные расстояния между заданными $N$ точками и выберем среди этих расстояний наибольшее — пусть это расстояние между какими‑то двумя точками $A$ и $B$. Соединим точку $A$ с остальными $N-1$ точками; получим $N-1$ отрезков. Середины этих отрезков различны и все лежат внутри или на границе круга с центром в точке $A$ радиуса $\dfrac12 |AB|$ (рис. 1).
Аналогично, соединив точку $B$ с оставшимися $N-1$ точками, получим $N-1$ отмеченных точек (середин), расположенных внутри или на границе круга того же радиуса с центром в точке $B$.
Построенные два круга имеют только одну общую точку — середину отрезка $AB$. Следовательно, всегда имеется по крайней мере $2(N-1)-1$ (так как середину отрезка $AB$ мы учитываем дважды) отмеченных середин, т. е. не менее $2N-3$ отмеченных точек.
Покажем, что $2N-3$ — это наименьшее число отмеченных точек. Пусть заданные $N$ точек лежат на одной прямой, причём расстояния между соседними точками одинаковы (рис. 2). Легко видеть, что в этом случае число отмеченных точек — середин (на рисунке 2 это красные точки) равно $(N-2)+N-1=2N-3$. Тем самым всё доказано.
В заключение мы предлагаем читателям подумать над следующей задачей. При каких $N$ можно расположить на плоскости $N$ точек так, чтобы они не лежали на одной прямой и чтобы при этом количество отмеченных середин отрезков с концами в этих точках равнялось $2N-3$?
