Задача М2858‍‍

Дано дерево (т. е. связный граф без циклов). Изначально в каждой его вершине находится по фишке. За ход выбирается ребро и производится обмен двух фишек, находящихся в концах этого ребра. Докажите, что если сделать (в некотором порядке) по одному ходу с каждым ребром, то в результате фишки сдвинутся по циклу относительно начального положения (т. е. фишки можно занумеровать числами 1, 2, ..., $n$‍‍ так, чтобы фишка 1 в конце заняла начальное положение фишки 2, фишка 2 — фишки 3, ..., фишка $n$‍‍ — фишки 1). На рисунке 1 приведён пример для $n=5$‍.‍