Пусть $A'$, $B'$, $C'$ — середины сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно
в правильном треугольнике $ABC$ (рис. 1). На продолжении отрезка $A'B'$
за $B'$ взята точка $D$, а на продолжении отрезка $A'C'$ за $C'$ взята точка
$E$ так, что отрезок $DE$ проходит через точку $A$. Отрезки $B'E$ и $C'D$
пересекаются в точке $X$.
Докажите, что точки $X$, $A'$, $B'$, $C'$ лежат на одной окружности.
Докажите, что отрезки $A'X$, $CE$, $BD$ и $B'C'$ пересекаются в одной
точке.
Пусть длина стороны треугольника $ABC$ равна $2a$, также положим $EC'=x$,
$DB'=y$ (рис. 2).
Рис. 2
а) Заметим, что соответствующие стороны треугольников $EAC'$ и $ADB'$
параллельны, значит, эти треугольники подобны, откуда
$\dfrac{EC'}{C'A}=\dfrac{AB'}{B'D}$, или $\dfrac xa=\dfrac ay$. Полученная
пропорция вместе с равенством $\angle EC'B'=\angle C'B'D=120^\circ$ даёт
подобие $\triangle EC'B'\sim\triangle C'B'D$. Отсюда
$$
\angle DC'B'=\angle C'EB'=180^\circ-\angle EC'B'-\angle EB'C=
60^\circ-\angle EB'C.
$$
Получаем, что $\angle XC'B'+\angle XB'C'=60^\circ$, откуда
$\angle B'XC'=120^\circ$, следовательно, $\angle B'XC'+\angle
B'A'C'=120^\circ+60^\circ=180^\circ$, четырёхугольник $A'B'XC'$ вписанный.
б) Покажем, что каждый из отрезков $CE$, $BD$, $A'X$ делит отрезок $B'C'$
в одном и том же отношении, равном $\dfrac xa$ (или $\dfrac ay$).
Далее,
$$
\dfrac{C'W}{WB'}=\dfrac{S_{A'C'X}}{S_{A'B'X}}=\dfrac{A'C'\cdot C'X\cdot
\sin\angle A'C'X}{A'B'\cdot B'X'\cdot\sin\angle A'B'X},
$$
что равно $\dfrac{C'X}{XB'}$, поскольку $A'B'=A'C'$, a углы $A'C'X$ и $A'B'X$
дают в сумме $180^\circ$ (в силу вписанности $A'B'XC'$). Вспомним, что $\angle XC'B'=\angle C'EB'$, поэтому $\triangle B'XC'\sim\triangle B'C'E$,
откуда $\dfrac{C'X}{XB'}=\dfrac{EC'}{C'B'}=\dfrac xa$. Итак,
$\dfrac{C'W}{WB'}=\dfrac xa$, что завершает решение.
Сделаем ещё несколько замечаний по поводу этой конструкции. Оказывается,
прямая, проведённая через точки пересечения $AB\cap CE$ и $AC\cap BD$, будет
касаться окружности $(A'B'C')$ в точке $X$. Получается, что утверждения
задачи можно трактовать как свойства описанного четырёхугольника (здесь
$A'$, $B'$, $C'$, $X$ – точки касания его сторон со вписанной окружностью),
или, более общо, как проективные свойства четырёхугольника, описанного
вокруг коники.
