Задача М2842‍‍

Ответ: не могло.

Пусть выписано чётное количество чисел, т. е. $2k$‍‍ чисел, начиная с числа $n$‍.‍ Тогда одна из двух указанных в условии сумм равна $$ S_1=n+(n+2)+\ldots+(n+2k-2)=(2n+2k-2)\cdot\dfrac k2=(n+k-1)k. $$ Другая же сумма равна $S_2=S_1+k=(n+k)k$‍.‍

Если же выписано нечётное количество чисел, т. е. $2k+1$‍‍ чисел, начиная с числа $n$‍,‍ то одна из сумм равна $$ S_1=(n+1)+(n+3)+\ldots+(n+2k-1)=(n+1+(n+2k-1))\cdot\dfrac k2=(n+k)k. $$ Другая же сумма равна $$ S_2=n+(n+2)+\ldots+(n+2k)=S_1+n+k=(n+k)(k+1). $$

В обоих случаях частное $\dfrac{S_2}{S_1}$‍‍ равно отношению $\dfrac{m+1}m$‍‍ двух последовательных натуральных чисел. Покажем, что это невозможно, если предположить, что $S_1$‍‍ и $S_2$‍‍ — точные квадраты. Пусть $S_1=m_1^2$‍,‍ $S_2=m_2^2$‍‍ и $\dfrac uv$‍‍ — нескократимая запись дроби $\dfrac{m_2}{m_1}$‍.‍ Тогда $\dfrac{u^2}{v^2}$‍‍ — нескократимая запись дроби $\dfrac{m_2^2}{m_1^2}=\dfrac{S_2}{S_1}=\dfrac{m+1}m$‍.‍ Так как дробь $\dfrac{m+1}m$‍‍ несократимая, должно выполняться $v^2=m$‍,‍ $u^2=m+1$‍,‍ т. е. два последовательных натуральных числа являются точными квадратами, что невозможно.