Задача М2825‍‍

Пусть $H$‍‍ — ортоцентр, $I$‍‍ — центр вписанной окружности $\omega$‍,‍ а $O$‍‍ — центр описанной окружности данного треугольника $ABC$‍‍ (см. рисунок).

Запустим одновременно с жуками с теми же скоростями пауков из точек $A$‍,‍ $B$‍,‍ $C$‍‍ по лучам $AO$‍,‍ $BO$‍,‍ $CO$‍‍ соответственно. Так как лучи $AH$‍‍ и $AO$‍‍ симметричны относительно биссектрисы $AI$‍‍ угла $BAC$‍,‍ жук и паук, стартовавшие из вершины $A$‍,‍ будут одновременно оказываться на вписанной окружности. Теперь будем решать данную задачу про пауков — она будет эквивалентна исходной. Пусть условие одновременного попадания на $\omega$‍‍ выполнено для пауков стартующих из $A$‍‍ и из $B$‍.‍ Так как $AO=OB$‍,‍ в любой момент времени эти пауки симметричны относительно серединного перпендикуляра $m_c$‍‍ к $AB$‍.‍ Предположим, эти пауки одновременно оказались в различных точках $A'\in\omega$‍‍ и $B'\in\omega$‍.‍ Но так как точка $I$‍‍ лежит на серединном перпендикуляре к $A'B'$‍,‍ то $I$‍‍ лежит на $m_c$‍.‍ Но отсюда следует, что $\Delta ABC$‍‍ симметричен относительно $m_c$‍‍ — противоречие с неравнобедренностью $\Delta ABC$‍.‍

Тогда наши два паука попали одновременно в одну и ту же точку, лежащую на $\omega$‍.‍ Эта точка — $O$‍‍ (единственная точка, через которую проходят траектории пауков). В этот момент все три паука проползли расстояние $R$‍‍ и окажутся в $O$‍.‍