Задача М27‍‍

Это утверждение следует из такого тождества: $$ \left(\dfrac a{b-c}+\dfrac b{c-a}+\dfrac c{a-b}\right) \left(\dfrac1{b-c}+\dfrac1{c-a}+\dfrac1{a-b}\right)= \dfrac a{(b-c)^2}+\dfrac b{(c-a)^2}+\dfrac c{(a-b)^2}. $$

Для его доказательства достаточно почленно перемножить две суммы, стоящие в левой части тождества, и учесть, что сумма трёх дробей $$ \begin{align*} \dfrac a{b-c}\left(\dfrac1{c-a}+\dfrac1{a-b}\right)&=\dfrac{ca-cb}{(a-b)(b-c)(c-a)},\\ \dfrac b{c-a}\left(\dfrac1{a-b}+\dfrac1{b-c}\right)&=\dfrac{ab-ac}{(a-b)(b-c)(c-a)},\\ \dfrac c{a-b}\left(\dfrac1{b-c}+\dfrac1{c-a}\right)&=\dfrac{bc-ba}{(a-b)(b-c)(c-a)} \end{align*} $$ равна нулю.

Такое решение прислал А. Шильштут из Ташкента. Менее прозрачные, но тоже верные решения прислали Б. Пагис из Новомосковска Тульской области и А. Избицкий из Малориты Брестской области.

После прочтения такого искусственного решения, конечно, может возникнуть вполне резонный вопрос: а как догадаться, что данное выражение нужно умножить именно на $\dfrac1{b-c}+\dfrac1{c-a}+\dfrac1{a-b}$‍?‍ Нельзя ли придумать общий способ рассуждения, позволяющий решать подобные задачи?

Более естественно было бы решать эту задачу так. Запишем данные выражения в виде отношения двух многочленов: $$ \begin{gather*} \dfrac a{b-c}+\dfrac b{c-a}+\dfrac c{a-b}=\dfrac{p(a,b,c)}{(a-b)(b-c)(c-a)},\\ \dfrac a{(b-c)^2}+\dfrac b{(c-a)^2}+\dfrac c{(a-b)^2}=\dfrac{q(a,b,c)}{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2} \end{gather*} $$ ($p$‍‍ будет многочленом третьей степени, а $q$‍‍ — пятой). Мы должны доказать, что если $p(a,b,c)=0$‍,‍ то и $q(a,b,c)=0$‍.‍ Естественно попробовать доказать, что многочлен $q$‍‍ делится на многочлен $p$‍,‍ т. е. найти такой многочлен $r=r(a,b,c)$‍,‍ что $q=pr$‍‍ (можно доказать общую теорему для многочленов от любого числа переменных: если $q$‍‍ равен нулю при всех тех значениях переменных, при которых $p$‍‍ равен нулю, и при этом многочлен $p$‍‍ неприводим, т. е. не раскладывается на множители — а в данном случае так оно и есть, — то $q$‍‍ должен делиться на $p$‍).‍ Делить многочлены можно обычным образом — «уголком», считая их многочленами от одной переменной $a$‍‍ (в коэффициенты которых входят буквы $b$‍‍ и $c$‍);‍ например, $p$‍‍ запишется так: $$ p(a,b,c)=-a^3+p_1(b,c)\,a^2+p_2(b,c)\,a+p_3(b,c). $$ В результате мы получили бы, разумеется, что $q=pr$‍,‍ где $$ \begin{align*} r(a,b,c)&=(a-b)(b-c)(c-a)\left(\dfrac1{a-b}+\dfrac1{b-c}+\dfrac1{c-a}\right)=\\ &=-a^2+ab+ac+bc-b^2-c^2. \end{align*} $$ В данном примере осуществление этого плана решения связано с очень трудоёмкими вычислениями (в многочлене $q(a,b,c)$‍‍ даже после приведения подобных членов останется 21 член!), но мы очень советуем читателям обдумать все детали этого общего плана, применимого ко многим другим задачам.