Задача М260‍‍‍

Окружность разбита точками $A_1$‍,‍ $A_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $A_n$‍,‍ на $n$‍‍ равных частей, каждая из которых окрашена в какой-то цвет. Две дуги (с концами в точках разбиения) называются одинаково окрашенными, если при некотором повороте окружности одна из них полностью, включая цвет каждой части, совпадает с другой. (Например, на рисунке 2 дуги $A_2A_6$‍‍ и $A_6A_{10}$‍‍ одинаково окрашены.)

Докажите, что если для каждой точки разбиения $A_i$‍,‍ можно указать две непересекающиеся одинаково окрашенные дуги с общим концом $A_i$‍,‍ то всю окружность можно разбить на несколько одинаково окрашенных дуг, то есть окраска «периодическая». Рассмотрите сначала случай, когда красок всего две: скажем, красная и чёрная.