Задача М193‍‍‍

Приведём одно из наиболее коротких решений, присланное А. Макаричевым (Львов).

Докажем, что сумма площадей некоторых четырёх из пяти треугольников, о которых говорится в условии, больше площади пятиугольника.

Пусть дан произвольный выпуклый пятиугольник. Обозначим его вершины буквами $ABCDE$‍‍ так, чтобы площадь треугольника $ABC$‍‍ была наименьшей из площадей треугольников $ABC$‍,‍ $BCD$‍,‍ $CDE$‍,‍ $DEA$‍‍ и $EAB$‍‍ (см. рис. 5). Пусть $F$‍‍ — точка пересечения $AD$‍‍ и $EC$‍.‍ Поскольку точка $F$‍‍ лежит на отрезке $EC$‍,‍ площадь $S_{ABF}$‍‍ заключена между $S_{ABE}$‍‍ и $S_{ABC}$‍‍ (рис. 6). Но мы знаем, что $S_{ABC}\le S_{ABE}$‍.‍ Поэтому $S_{ABF}\le S_{ABE}$‍.‍

Аналогично, поскольку точка $F$‍‍ лежит на $AD$‍‍ и $S_{ABC}\le S_{BCD}$‍,‍ то $S_{BCF}\le S_{BCD}$‍.‍

Но треугольники $AED$‍,‍ $EDC$‍,‍ $ABF$‍‍ и $BCF$‍‍ покрывают пятиугольник (кусок $EFD$‍‍ — дважды). Поэтому сумма их площадей больше $S_{ABCDE}$‍.‍ Тем более $$ S_{ABE}+S_{AED}+S_{EDC}+S_{BCD}\ge S_{ABCDE}. $$ Наше утверждение доказано.

Пример, приведённый на рисунке 7, показывает, что отношение площади пяти треугольников к площади пятиугольника может быть очень близко к 1.

Нетрудно видеть, что это отношение не больше 2. Рисунок 8 показывает, что его можно сделать сколь угодно близким к 2.

Рисунок номер 5 Рисунок номер 6 Рисунок номер 7 Рисунок номер 8 Рисунок номер 9