Докажем, что наибольшее $m$ равно 499. Прежде всего, проверим, что никакое $m$, большее или равное 500, не обладает нужным свойством. Действительно, если $m\ge500$, то, вычеркнув первые $m$ чисел (от 1 до $m$), мы оставим числа от $m+1\ge501$ до 1000, среди которых ни одно, очевидно, не делится на другое (все попарные отношения меньше двух).
Теперь докажем, что $m=499$ обладает нужным свойством. Другими словами, докажем, что среди любых 501 чисел от 1 до 1000 найдутся два, из которых одно делится на другое (аналогичная задача решена в книге «Избранные задачи и теоремы элементарной математики», ч. 1, «Арифметика и алгебра» № 91, «Наука», 1965).
Поставим в соответствие каждому числу (из 501) его наибольший нечётный делитель: числу $2^k(2l+1)$ ставится в соответствие число $2l+1$. Всего нечётных чисел, меньших 1000, существует только 500. Следовательно, каким‑то двум из 501 чисел будет соответствовать одно и то же нечётное число. Из таких двух чисел одно обязательно получится из другого умножением на некоторую степень двойки.
