Разберём сначала особый случай $a=0$. Получаем:
$$
\!\sqrt[\scriptstyle n~]{x^n}+\!\sqrt[\scriptstyle n~]{-x^n}=0.
$$
Если $n$ — чётное, то единственным решением будет $x=0$ (так как иначе $x^n$ и $-x^n$ имеют разные знаки, и один из корней не имеет смысла). Если $n$ — нечётное, то любое $x$ будет решением.
Пусть теперь $a\ne0$. Обозначив $\!\sqrt[\scriptstyle n~]{x^n-a^n}$ через $y$, а $a-y$ через $z$, получаем систему:
$$
\left.\begin{array}{l}
y+z=a, \\
y^n+z^n=a^n.
\end{array}\right\}\tag{1}
$$
Пусть
$$
\left.\begin{array}{l}
y=a,\\
z=0
\end{array}\right\}\quad\text{или}\quad\left.
\begin{array}{l}
y=0, \\
z=a.
\end{array}\right\}
$$
В этих случаях оба равенства выполняются. Посмотрим, какие это даёт ответы. Вычислим $x$:
$$
x^n=2a^n\quad\text{или}\quad x^n=a^n.
$$
Эти равенства выполняются при $$
x=
\begin{cases}
a\sqrt[\scriptstyle n~]{2}, \\
\pm a\sqrt[\scriptstyle n~]{2}
\end{cases}
\quad\text{и}\quad x=
\begin{cases}
a,&\text{если}~n~\text{— нечётное},\\
\pm a,&\text{если}~n~\text{— чётное,}
\end{cases}
$$
соответственно. Подставляя эти значения $x$ в исходное уравнение, получаем в обоих случаях одно и то же:
$$
\!\sqrt[\scriptstyle n~]{a^n}=a.
$$
Это верно: при всех $a$, если $n$ — нечётное, при $a\ge0$, если $n$ — чётное.
Докажем теперь, что при $a\ne0$, $y\ne0$, $z\ne0$ система (1) выполняться не может. Достаточно рассмотреть только тот случай, когда $a\gt0$, $y\ge z$. Действительно, если $\{y,z,a\}$ — её решение, причём $a\lt0$, то и $\{-y,-z,-a\}$ — также её решение. Далее, если в решении поменять значения $y$, $z$ местами, то получим снова решение. Знaчит, если есть решение при $a\ne0$, то есть и решение при $a\gt0$, такое, что $y\ge z$.
Итак, пусть $a\gt0$, $y\ge z$. Рассмотрим два случая.
а) $z\gt0$. Тогда
$$
y^n+z^n=(y+z)^n,\tag2
$$
откуда $z^n=(y+z)^n-y^n=(y+z-y)\left[(y+z)^{n-1}+\ldots+y^{n-1}\right]$. Но $z^n\lt z(y+z)^{n-1}$, поэтому равенство (2) невозможно.
б) $z\lt 0$. Положим $z=-w$.
При $n$ чётном система (1) принимает вид $$
\left.\begin{array}{l}
y-w=a, \\
y^n+w^n=a^n.
\end{array}\right\}
$$
Решений нет, так как из первого уравнения $y\gt a$, откуда $y^n\gt a^n$ и тем более $y^n+w^n\gt a^n$. При $n$ нечётном система (1) принимает вид $$
\left.\begin{array}{l}
y-w=a, \\
y^n-w^n=a^n
\end{array}\right\}
$$
или $$
\left.\begin{array}{l}
a+w=y, \\
a^n+w^n=y^n
\end{array}\right\}
$$
что аналогично случаю а).
Итак, вот окончательный ответ.
Если $n$ нечётное, то при всех $a\ne0$ $x_1=a\sqrt[\scriptstyle n~]2$, $x_2=a$; при $a=0$ любое $x$ — решение.
Если $n$ чётное, то при $a\gt0$ $x_{1,~2}=\pm a\sqrt[\scriptstyle n~]{2}$, $x_{3,~4}=\pm a$, при $a=0$ $x=0$, а при $a\lt0$ решений нет.
Большинство ошибок в письмах, присланных читателями, связано с тем, что указываемый ответ верен не при всех значениях параметров $a$ и $n$; иногда ответ указан верно, но доказательство, что других решений нет, отсутствует.
