Обозначим
$$
b_n=a_1a_2\ldots a_n-a_1^2-a_2^2-\ldots-a_n^2.
$$
Докажем, что $b_{n+1}=b_n-1$ (при $n\ge5$):
$$
\begin{gather*}
b_{n+1}=a_1a_2\ldots a_na_{n+1}-a_1^2-a_2^2-\ldots-a_n^2-a_{n+1}^2=\\
=a_1a_2\ldots a_n(a_1a_2\ldots a_n-1)-a_1^2-a_2^2-\ldots-a_n^2-(a_1a_2\ldots a_n-1)^2=\\
=a_1a_2\ldots a_n-a_1^2-a_2^2-\ldots-a_n^2-1=b_n-1.
\end{gather*}
$$
Далее,
$$
b_5=a_1a_2\ldots a_5-a_1^2-a_2^2-\ldots-a_5^2=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5-1^2-2^2-3^2-4^2-5^2=65.
$$
Поэтому $b_6=64$, $b_7=63$, $\ldots$, $b_{70}=0$, т. е.
$$
a_1a_2\ldots a_{70}=a_1^2+a_2^2+\ldots+a_{70}^2.
$$
Замечание. Эту задачу полезно сравнить со статьёй про обобщённые уравнения Маркова («Квант» № 6 за 1995 год). Оказывается, набор $(1,2,3,4,5,1,\ldots,1)$ из 70 чисел — это «корневое решение» уравнения
$$
x_1^2+\ldots+x_{70}^2=x_1x_2\ldots x_{70},
$$
из которого за 65 шагов получается решение
$$
(1,2,3,4,5,a_6,a_7,\ldots,a_{70})
$$
того же уравнения. (Шаг за шагом мы получаем решения
$$
(1,2,3,4,5,a_6,a_7,\ldots,a_k,1,\ldots,1),\quad k=6,7,\ldots,70;
$$
рекуррентная формула в условии — это формула (3) из статьи, позволяющая «вырастить» новое решение уравнения Маркова.)
