Оказывается, что утверждение задачи можно заменить более точным. Мы докажем не только то, что $m$ делится на $n$, т. e. $m = kn$, где $k$ — некоторое целое число, но и то, что это $k$ — обязательно нечётное число. Мы разобьём доказательство на три части.
- Пусть $m = kn$, где $k$ — нечётное число. Тогда $a^m+b^m$ делится на $a^n+b^n$.
- Пусть $m=kn+r$, где $k$ — нечётное число, а $0\lt r\lt n$. Тогда $a^m+b^m$ не делится нa $a^n+b^n$.
- Пусть $m=ln+r$, где $l$ — чётное число, а $0\le r\lt n$. Тогда $a^m+b^m$ не делится нa $a^n+b^n$.
Заметим, что, доказав 1°, 2°, 3°, мы докажем ещё больше, чем обещали, а именно: для того чтобы $a^m+b^m$ делилось на $a^n+b^n$, необходимо и достаточно, чтобы $m$ равнялось $kn$, где $k$ нечётно. При доказательстве 2° и 3° мы будем использовать то, что $a$ и $b$ взаимно просты, а при доказательстве 1° — нет.
Доказательство 1°. Пусть $c$ и $d$ — произвольные целые числа. Тогда $c^k+d^k$, где $k\gt0$ нечётно, делится на $c+d$. (Отсюда при $c=a^n$ и $d=b^n$ получится 1°.) Действительно, как легко видеть, при нечётном $k$;
$$
c^k+d^k=(c+d)(c^{k-1}-c^{k-1}d+\ldots-cd^{k-2}+d^{k-1}).
$$
Доказательство 2°. Запишем $a^m+b^m$ в виде
$$
a^{kn+r}+b^{kn+r}=a^r(a^{kn}+b^{kn})+b^{kn}(b^r-a^r).
$$
Согласно 1° первое слагаемое делится на $a^n+b^n$, второе же слагаемое не делится на $a^n+b^n$, так как $b^{kn}$ взаимно просто с $a^n+b^n$ и $0\lt |b^r-a^r|\lt a^n+b^n$. Следовательно, сумма не делится на $a^n+b^n$.
Доказательство 3°. Если $l$ — чётное число, то $k=l-1$ нечётно. Запишем $a^m+b^m$ в виде
$$
\begin{gather*}
a^{ln+r}+b^{ln+r}=a^{kn}a^{n+r}+b^{kn}b^{n+r}=\\
=a^{n+r}(a^{kn}+b^{kn})+b^{kn+r}(b^n+a^n)-b^{kn}a^n(b^r+a^r).
\end{gather*}
$$
Первые два слагаемых делятся на $a^n+b^n$, а последнее, как и выше, нe делится. В самом деле, $b^{kn}a^n$ взаимно просто с $a^n+b^n$ и $0\lt b^r+a^r\lt a^n+b^n$.
Приведите самостоятельно примеры, показывающие, что без предположения о взаимной простоте $a$ и $b$ утверждения 2° и 3° неверны.
