Ответ: не может.
Предположим, что числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 — корни уравнения $f(g(h(x)))=0$. Если прямая $x=a$ — ось параболы, задаваемой уравнением $y=h(x)$, то $h(x_1)=h(x_2)$ тогда и только тогда, когда $x_1+x_2=2a$. Многочлен $f(g(x))$ имеет не более четырёх корней, но числа $h(1)$, $h(2)$, $\ldots$, $h(8)$ являются его корнями, следовательно, $a=4{,}5$ и $h(4)=h(5)$, $h(3)=h(6)$, $h(2)=h(7)$, $h(1)=h(8)$. Кроме того, мы попутно доказали, что числа $h(1)$, $h(2)$, $h(3)$, $h(4)$ образуют монотонную последовательность.
Аналогично, рассматривая трёхчлен $f(x)$ и его корни $g(h(1))$, $g(h(2))$, $g(h(3))$ и $g(h(4))$, получаем, что $h(1)+h(4)=2b$, $h(2)+h(3)=2b$, где прямая $x=b$ — ось параболы, задаваемой уравнением $y=g(x)$. Но из уравнения $h(1)+h(4)=h(2)+h(3)$ для $h(x)=Ax^2+Bx+C$ следует, что $A=0$. Противоречие.
