Задача М1512‍‍

а) Пусть $x_1$‍‍ и $x_2$‍‍ — наименьший и наибольший корни многочлена $f(x)$‍,‍ $M$‍‍ — наименьшее значение этого многочлена. Поскольку при достаточно большом по модулю $x$‍‍ значение $f(x)$‍‍ больше $M$‍,‍ найдётся такое расстояние $d$‍,‍ что для всех точек $x$‍,‍ удалённых от $[x_1,x_2]$‍‍ более чем на $d$‍,‍ будет $f(x)\gt M$‍.‍ Наименьшим и наибольшим корнями многочлена $f(x+l)$‍‍ являются числа $x_1-l$‍‍ и $x_2-l$‍.‍

Выберем некоторое $l$‍‍ так, чтобы расстояние между отрезками $[x_1-l,x_2-l]$‍‍ и $[x_1,x_2]$‍‍ превышало $d$‍.‍ Очевидно, $f(x)+f(x+l)\gt 0$‍‍ для любого $x$‍‍ Значит, $$\begin{gather*} \bigl(f(x)+f(x+l)\bigr)+\bigl(f(x+1)+f(x+l+1)\bigr)+\ldots+\bigl(f(x+l-1)+f(x+2l-1)\bigr)=\\ =f(x)+f(x+1)+\ldots+f(x+2l-1)\gt 0 \end{gather*}$$ для любого $x$‍,‍ и в роли $k$‍‍ можно взять $2l-1$‍.‍

б) Рассмотрим многочлен $f'(x)$‍‍ и натуральное число $k$‍‍ такое, что $$ f'(x)+\ldots+f'(x+k)\gt 0 $$ для всех $x$‍‍ (оно существует согласно а)). Многочлен $f(x)+\ldots+f(x+k)$‍‍ — возрастающая функция. Следовательно, он имеет ровно один вещественный корень.