Вершины $A$, $B$ и $B$, $C$ треугольника $ABC$ служат соответственными вершинами двух подобных друг другу параллелограммов $ABDE$ и $BCFG$, построенных на сторонах $AB$ и $BC$ вне треугольника. Докажите, что медиана $BM$ треугольника $ABC$ при продолжении образует с прямой $DG$ углы, равные углам параллелограммов.
Пусть $\angle CBG=\angle BAE=\alpha$, для определённости, $\alpha\le\dfrac\pi2$. На продолжении отрезка $AB$ отложим отрезок $BP=AB$ (см. рисунок). Очевидно, треугольник $BDP$ равен $AEB$ и, следовательно, подобен треугольнику $BGC$, т. е. $\angle PBD=\alpha$ и $\dfrac{BP}{BD}=\dfrac{BC}{BG}$. Отсюда следует, что последовательно выполняя поворот вокруг $B$ на угол $\alpha$ (на нашем рисунке — по часовой стрелке) и гомотетию с центром $B$ и коэффициентом $k$, мы переведём точку $D$ в $P$, $G$ в $C$, а значит, прямую $DG$ в $PC$. Поскольку при нашем повороте все прямые поворачиваются на угол $\alpha$, а гомотетия переводит любую прямую в параллельную ей, угол между $DG$ и $PC$ равен $\alpha$. Остаётся заметить, что отрезок $BM$ параллелен $PC$ как средняя линия в треугольнике $APC$.
