Все нужные примеры можно получить, предварительно разбив пространство тремя семействами плоскостей на одинаковые единичные кубики.
а) Пусть $P$ — центр такого кубика, $PH$ — перпендикуляр, опущенный на некоторую его грань $ABCD$. Очевидно, кубик можно разбить на $6\cdot4=24$ одинаковых тетраэдра, равных $PABH$. Разбив таким образом каждый кубик, получим разбиение пространства на одинаковые тетраэдры.
б) Рассмотрим тетраэдр $ABHQ$, симметричный $ABHP$ относительно плоскости грани кубика $ABCD$, к которой он примыкает. Объединение этих двух тетраэдров — равногранный тетраэдр $ABPQ$ (все его грани — равнобедренные треугольники со сторонами 1, $\dfrac{\sqrt3}2$, $\dfrac{\sqrt3}2\Big)$. Очевидно, все тетраэдры, построенные в пункте а), можно объединить в такие пары и тем самым разбить пространство на равногранные тетраэдры, равные $ABPQ$.
в) Опустим перпендикуляр $HK$ на $AB$ и рассмотрим тетраэдр $AKPH$ — половинку от $ABPH$; очевидно, кубик можно разбить на 48 тетраэдров, равных $AKPH$. Этот тетраэдр имеет две пары равных граней: он переходит в себя при повороте на $180^\circ$ относительно прямой $MN$, где $M$ и $N$ — середины отрезков $KH$ и $AP$ ($MN$ — высота равнобедренных треугольников $AMP$ и $KNH$, см. рисунок). Но его можно разрезать по треугольнику $AMP$ на два равных (переходящих друг в друга при указанном повороте) тетраэдра $AMPH$ и $PMAK$, уже разноправных: две грани $AHP$ и $AHM$ тетраэдра $PMAK$ — прямоугольные треугольники с общим катетом $AH$, но разными вторыми катетами $KP\gt KM$; из двух тупоугольных треугольников $AMP$ — равнобедренный, $KMP$ — нет. Ясно, что на тетраэдры, равные $PMAK$, можно разбить всё пространство.
Конечно, приведённые примеры — не единственно возможные. Интересны вопросы о существовании непериодических разбиений (связанные с недавно возникшим понятием «квазикристалла»), но эта тема заслуживает отдельного разговора.
