$A$ обещает платить $B$ в среднем $\sqrt{2}$ руб. в день. Они условились, что в $n$-й день $A$ будет получать целое число $a_n$ рублей ($a_n$ равно 1 или 2) с таким расчётом, чтобы сумма, полученная за первые $n$ дней ($a_1+a_2+\ldots+a_n$), была как можно ближе к числу $n\sqrt{2}$.
Например, $a_1=1$, $a_2=2$, $a_3=1$, $a_4=2$, $a_5=1$. Докажите, что последовательность $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ непериодическая.
Идея доказательства состоит в следующем. Предположим, что, начиная с некоторого дня с номером $N+1$, эта последовательность — периодическая и $T$ — период, т. е. $a_{N+T+1}=a_{N+1}$, $a_{N+T+2}=a_{N+2}$ и т. д. Тогда за каждые $T$ дней, следующих после дня $N$, $B$ будет получать одно и то же целое число
$$
a_{N+1}+a_{N+2}+\ldots+a_{N+T}=c\tag7
$$
рублей. Поэтому в среднем (за большой промежуток времени) он получит по $\dfrac cT$ рублей в день. Но из правила построения последовательности $a_n$ в среднем он должен получать $\sqrt2$ рублей в день. Приходим к противоречию: равенство
$$
\dfrac cT=\sqrt2\tag8
$$
невозможно, поскольку число $\sqrt2$ иррационально, а $c$ и $T$ — натуральные.
Подобную идею высказали многие из приславших нам решение этой задачи. Но не все довели её до строгого доказательства. Это доказательство может выглядеть, например, так.
Рис. 6
Обозначим $a_1+a_2+\ldots+a_n$ через $s_n$. Поскольку $n\sqrt2$ иррационально и $s_n$ — ближайшее целое число к $n\sqrt2$ (рис. 6), то $$
|s_n-n\sqrt{2}|\lt\dfrac12.\tag9
$$
Предполагая, что при $n\gt N$ последовательность $a_n$ — периодическая, и используя обозначение (7), для любого натурального $m$ имеем
$$
s_{N+mT}=s_N+mc. \tag{10}
$$
Применяя (9) к $n=N+mT$, с учётом (10) получим
$$
|s_N+mc-N\sqrt{2}-mT\sqrt{2}|\lt\dfrac12,
$$
откуда, используя неравенство $|\alpha+\beta|\ge|\alpha|-|\beta|$ и деля на $mT$, получаем
$$
\left|\dfrac cT-\sqrt2\right|\lt\dfrac1{2mT}+\dfrac{|s_N-N\sqrt{2}|}{mT}\lt\dfrac1{mT}.
$$
Это неравенство должно выполняться при любом$m$. Отсюда следует, что левая часть неравенства должна равняться 0), т. е. мы приходим к равенству (8), которое, как уже говорилось, неверно ни при каких натуральных $c$ и $T$.
