Ответ: 180625.
Будем искать нужное число $x$ в виде $x=a10^n+b10^{n-1}+c$, где $b$ — вычёркиваемая цифра, $a$ и $c$ — натуральные числа, $c\lt 10^{n-1}$. В результате вычёркивания цифры $b$ получается число $y=a10^{n-1}+c$. По условию
$$
\dfrac{x}{y}=\dfrac{a10^n+b10^{n-1}+c}{a10^{n-1}+c}=10+\dfrac{b10^{n-1}-9c}{a10^{n-1}+c}
$$
— целое. Обозначим последнюю дробь через $k$: это целое число
$$
k=\dfrac{b10^{n-1}-9c}{a10^{n-1}+c}.\tag{1}
$$
Оценим его сверху и снизу:
$$\begin{gather*}
k\le \dfrac{b}{a}\le \dfrac{9}{a},\\
k\ge \dfrac{-9c}{a10^{n-1}+c}\gt \dfrac{-9\cdot10^{n-1}}{a10^{n-1}}\ge -\frac{9}{a}.
\end{gather*}$$
Отсюда получаем, поскольку $k$ — целое (и цифра $b$ не первая), что $1\le a\le 9$ и что $k=\dfrac xy-10$ заключено между $-8$ и 9, так что $2\le \dfrac{x}{y}=k+10\le 19$.
Перепишем (1) в виде $(b-ak)10^{n-1}=(k+9)c$.
Число $c$ по условию не оканчивается нулями, следовательно, разложение $c$ на простые множители либо не содержит двоек, либо не содержит пятёрок. Рассмотрим сначала случай, когда $c$ не содержит пятёрок. Поскольку нас интересует максимально возможное $n$, начнём перебор с таких $k$, при которых $k+9$ содержит двойку в максимальной степени, т. е. $k=7$; тогда $9+k=16=2^4$. Поскольку $b-ka$ должно быть положительно, $a=1$; $b$ должно быть равно 8 или 9, $n=5$. Если $b=8$, то получаем число 180625. Для него выполняется условие задачи; не доказано только, что оно максимально. При $k=7$ нужно проверить ещё только одну возможность: $b=9$. Но в этом случае получаем число 191250, которое заканчивается нулём и потому не годится. Итак, при $k=7$ имеем вариант ответа; проверим, нет ли другого варианта.
Если по-прежнему $c$ не делится на 2, то при всяком другом $k$ степень $n$ получится меньше, чем 5, и мы не получим максимального числа. Пусть теперь $c$ не делится на 5. Тогда $k+9$ делится на 5. Но (при допустимых значениях $k$) $k+9$ содержит 5 только в первой степени, поэтому $n$ не больше двух, и мы заведомо не получим максимального ответа.
