Ответ: да, такие числа существуют, например $10^{15}+99$, $10^{15}+117$, $10^{15}-9$ или $10^{13}+91$, $10^{13}+100$, $10^{13}-8$.
Положим $f(x)=x+S(x)$. Например, $f(91)=91+9+1=101$, $f(102)=102+1+2=105$. Легко найти два таких числа $m$ и $n$, что $f(m)=f(n)$, скажем, $f(99)=f(108)=117$. Заметим, что (для любого количества нулей)
$f(100\ldots0099)=f(100\ldots0108)=100\ldots0118$, и покажем, как найти ещё одно число вида $x=\underbrace{9\ldots9}_{k}z$ с тем же значением $f(x)$; здесь $z$ — некоторая цифра. Поскольку $x$ и $S(x)$ имеют один и тот же остаток при делении на 9 и для числа $10\ldots099$ остаток равен 1, возьмём $z=1$. Тогда $x=10^{k+1}-9$ и $f(x)=10^{k+1}-9+9k+1=10^{k+1}+9(k-1)+1$;
при $k=14$, $9(k-1)=11$ получим $f(x)=10^{k+1}+118$.
Замечание. Тот же приём позволяет, исходя из $r$ чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_r$ с одинаковыми значениями функции $f$, построить $r+1$ чисел с тем же свойством (из которых $r$ имеют вид $10^{k+1}+a_1$, $\ldots$, $10^{k+1}+a_r$).
