Если $A$, $B$, $C$ — углы четырёхугольника $ABCD$, равные $45^\circ$, то при продолжении сторон $CD$ и $AD$ за точку $D$ возникает очень много прямоугольных равнобедренных треугольников: $ABF$, $BCE$, $AED$, $DFC$, а если отметить середины сторон четырёхугольника $K$, $L$, $M$, $N$ (рис. 1), то ещё и их половинки: $AFK$, $FBK$, $EBL$, $CEL$, $FCM$, $DFM$, $EDN$, $AEN$. Среди них нам нужны только два: $EDN$ и $DFM$. Последний имеет сторону $MF$, равную и параллельную $EK$; таким образом, $\triangle NEK$ переходит при повороте на $90^\circ$ (вокруг $N$) в $\triangle NDM$, так что отрезки $NK$ и $NM$ равны и перпендикулярны.
Рис. 1
А тот факт, что $KLMN$ — параллелограмм, верен, как известно,
для любого четырёхугольника $ABCD$ ($KL$ и $MN$ параллельны диагонали $AC$ и равны $\dfrac{AC}{2}$).
Заметим, что эта задача совпадает, по существу, с задачей про два угольника, предложенной в том же номере «Кванта» младшим школьникам.
Задачу можно обобщить так: если два прямоугольных равнобедренных треугольника $AFB$ и $CFD$ имеют общую вершину прямого угла $F$ и одинаково ориентированы, то середины отрезков $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ — вершины квадрата (рис. 2). В самом деле, $\triangle AFC$ при повороте на $90^\circ$ переходит в $\triangle BFD$, поэтому отрезки $AC$ и $BD$ равны и перпендикулярны друг другу.
Рис. 2
