Условие задачи (1994, № 2) Задача М1424 // Квант. — 1994. — № 2. — Стр. 19; 1994. — № 5. — Стр. 28—29.
В строчку выписано 10 целых чисел. Вторая строчка находится так: под каждым числом
- Докажите, что все строчки, начиная с некоторой, нулевые (состоят из сплошных нулей).
- Каково максимально возможное число ненулевых строчек (содержащих хотя бы одно число, отличное от нуля)?
Изображения страниц
Решение задачи (1994, № 5) Задача М1424 // Квант. — 1994. — № 2. — Стр. 19; 1994. — № 5. — Стр. 28—29.
а) В каждой строчке, начиная со второй, стоят целые неотрицательные числа.
Ясно, что во 2-й строке последнее число равно 0, поэтому в 3-й — два последних числа равны 0, в 4-й — три последних равны 0, и т. д., в 10-й — 9 последних (т. е. все, кроме первого) равны 0, так что в 11-й — одни нули.
б) Ответ: 10. Пример, когда все 10 строк ненулевые, можно получить, начав со строки 0101010101, а ещё лучше — со строки 0504030201 — тогда каждый раз строка как бы сдвигается на единицу влево, дополняясь в конце нулём, и получается такая таблица: $$ \def\a#1{\enspace\mathclap{#1}\enspace} \colsep{0pt}{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \a0&\a5&\a0&\a4&\a0&\a3&\a0&\a2&\a0&\a1\\\hline \a5&\a0&\a4&\a0&\a3&\a0&\a2&\a0&\a1&\a0\\\hline \a0&\a4&\a0&\a3&\a0&\a2&\a0&\a1&\a0&\a0\\\hline \a4&\a0&\a3&\a0&\a2&\a0&\a1&\a0&\a0&\a0\\\hline \a0&\a3&\a0&\a2&\a0&\a1&\a0&\a0&\a0&\a0\\\hline \a3&\a0&\a2&\a0&\a1&\a0&\a0&\a0&\a0&\a0\\\hline \a0&\a2&\a0&\a1&\a0&\a0&\a0&\a0&\a0&\a0\\\hline \a2&\a0&\a1&\a0&\a0&\a0&\a0&\a0&\a0&\a0\\\hline \a0&\a1&\a0&\a0&\a0&\a0&\a0&\a0&\a0&\a0\\\hline \a1&\a0&\a0&\a0&\a0&\a0&\a0&\a0&\a0&\a0\\\hline \end{array}} $$