Докажите, что существует такое натуральное число $n$, что если правильный треугольник со стороной $n$ разбить прямыми, параллельными его сторонам, на $n^2$ правильных треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать $1993n$ точек, никакие три из которых не являются вершинами правильного треугольника (не обязательно со сторонами, параллельными сторонам исходного треугольника).
Пусть для некоторого $n$ указанное в задаче разбиение произведено. Раскрасим вершины треугольников в З цвета, как на рисунке.
Заметим, что у любого правильного треугольника с вершинами в этих точках либо все вершины разноцветны, либо одноцветны. Убедиться в этом можно, проверив, что если нашу решётку повернуть вокруг любой её вершины (пусть она имеет цвет $A$) на угол $60^\circ$, то вершины, имевшие цвет $A$, сохранят его, а вершины двух других цветов $B$ и $C$ поменяют его на $C$ и $B$ соответственно; центр поворота на $60^\circ$, приводящий к самосовмещению решётки, может лежать также в центре одного из треугольников — тогда цвета сдвигаются по циклу:
$$
A\to B\to C\to A.
$$
Выберем цвет, которым покрашено наименьшее число точек, и выбросим из нашей решётки точки этого цвета. Эту операцию назовём разрежением. Останется не менее $\dfrac23\cdot\dfrac{n^2}2$ точек двух цветов. Любой правильный треугольник с вершинами в этих точках одноцветный, а значит, имеет сторону не менее $\sqrt3$.
Рассмотрим отдельно множество точек каждого из двух оставшихся цветов, которые образуют часть треугольной решётки со стороной $\sqrt3$‚ и сделаем аналогичное разрежение. В результате останется не менее $\left(\dfrac23\right)^2\cdot\dfrac{n^2}2$ точек, которые могут образовывать вершины правильного треугольника со стороной не менее $(\sqrt3)^2$ . Действуя аналогично, после $k$-го разрежения мы сохраним не менее $\left(\dfrac23\right)^k\cdot\dfrac{n^2}2$ точек, а правильные треугольники будут иметь сторону не менее, чем $(\sqrt3)^k$.
Пусть $n=3^m$, тогда после $k=2m+1$ разрежений правильных треугольников не останется вовсе, а точек останется не менее, чем $\left(\dfrac23\right)^{2m+1}\cdot\dfrac{n^2}2\ge\left(\dfrac43\right)^m\cdot\dfrac n3\ge1993\cdot n$, при $\left(\dfrac43\right)^m\ge3\cdot1993$. Таким образом достаточно взять $n\gt3^l$, где $l=\log_{\frac{\scriptstyle4}{\scriptstyle3}}{}(3\cdot1993)$.
