Это неравенство можно доказать «в лоб» методом индукции. Для $n=2$ оно превращается в тождество. Неравенство для $n+1$ чисел $x_1$, $\ldots$, $x_{n+1}$ ($0\lt x_1\le\ldots\le x_n\le x_{n+1}$) получается сложением неравенства для $n$ чисел $x_1$, $\ldots$, $x_n$ (в предположении, что оно верно) и неравенства
$$
\dfrac{x_n}{x_{n+1}}+\dfrac{x_{n+1}}{x_1}-\dfrac{x_n}{x_1}\ge
\dfrac{x_{n+1}}{x_n}+\dfrac{x_1}{x_{n+1}}-\dfrac{x_1}{x_n};\tag{*}
$$
последнее очевидно: в обозначениях $\dfrac{x_n}{x_{n+1}}=q\le1$, $\dfrac{x_1}{x_n}=p\le1$ ($p\gt0$, $q\gt0$) его можно переписать как $$
q+\dfrac1{pq}-\dfrac1p\ge\dfrac1q+pq-p,
$$
или $$
\left(\dfrac1p-1\right)\left(\dfrac1q-1\right)=\dfrac{1-p}p\cdot\dfrac{1-q}q\ge(1-p)(1-q).
$$
