Задача М1352‍‍

Докажем а). Допустим, что найдётся неположительное число (отрицательное или 0). Заменим его нулём и выбросим. От этого сумма не уменьшится, и по-прежнему каждое из чисел (невыброшенных) будет меньше $\dfrac{S^*}{n-1}$‍,‍ где $S^*$‍‍ — новая сумма. Но не может быть, чтобы все числа некоторого набора были меньше их среднего арифметического.

Докажем б). Допустим, что $a+b\le c$‍.‍ Заменим в наборе два числа $a$‍‍ и $b$‍‍ на одно $c$‍.‍ Чисел стало $n-1$‍,‍ для оставшихся чисел требующиеся неравенства верны, так как сумма не уменьшилась; получается противоречие, как в пункте а).

Докажем в). Допустим, что $a+b\lt\dfrac S{n-1}$‍.‍ Заменим в нашем наборе числа $a$‍‍ и $b$‍‍ на $a+b$‍.‍ Получаем противоречие, как в предыдущих пунктах.