Пусть стороны треугольника $ABC$ относятся как $3:4:5$. Выберем единицу измерения длин так, что $AB=3$, $AC=4$, $BC=5$. Тогда $AE=3$, $EC=1$, $BD=3$, $DC=2$. Рассмотрим треугольники $ADC$ и $DEC$. $AC=2DC$, $DC=2EC$, и, кроме того, у этих треугольников общий угол $C$. Поэтому они подобны, и $\angle DAC=\angle EDC$. Из равнобедренности треугольника $ABD$ ($AB=DB$) следует, что $\angle BAD=\angle BDA$. $\angle BAC+\angle DAC=\dfrac\pi2$, значит, $\angle BDA+\angle EDC=\dfrac\pi2$, отсюда $\angle ADE=\dfrac\pi2$.
Докажем обратное утверждение: пусть угол $ADE$ — прямой (прямым может быть только угол $ADE$, так как угол $DAE$ является частью прямого, а если бы угол $DEA$ был прямой, то $BD$ должно было бы быть больше $AE$). Единицу измерения длин выберем так, чтобы было $AC=4$.
Треугольники $ADC$ и $EDC$ подобны (треугольник $ABD$ равнобедренный, $\angle BDA+\angle EDC=\dfrac\pi2$, следовательно, $\angle EDC=\angle DAC$, а угол $C$ у этих треугольников — общий). Обозначим $EC$ через $a$ ($a\lt EC=4$). Тогда $\dfrac{AC}{DC}=\dfrac{DC}a$; отсюда $DC=\sqrt{AC}\cdot\sqrt a=2\sqrt{a}$, $AE=AB=BD=4-a$. По теореме Пифагора $AC^2+AB^2=BC^2$. Подставляя в это равенство длины сторон, выраженные через $a$, получаем равенство: $4^2+(4-a)^2=(4-a+2\sqrt a)^2$.
Отсюда $(16-4a)=\sqrt a\cdot(16-4a)$. Поскольку $a\lt4$, на скобку можно сократить, и мы получаем: $a=1$, $AB=3$, $AC=5$.
