При $n=1$ утверждение верно: $b\ge1$, $V(1,b)=0\lt\dfrac1b$. При произвольном $n$ утверждение верно для любого $b\ge n$: $V(n,b)=0\lt\dfrac nb$.
Докажем наше утверждение для произвольного $n=k$ и произвольного $b=i$, предполагая, что оно справедливо при всех $n\lt k$ (при любых $b$), а при $n=k$ оно справедливо при всех $b\gt i$. Это — вариант доказательства методом математической индукции (по $n$ — как обычно, начиная с $n=1$ и двигаясь «вверх», по $b$ — при каждом $n$, начиная с $b=n$ и двигаясь «вниз»).
Среди разложений $k$ на сомножители, каждый из которых больше $i$, рассмотрим разложения на сомножители, каждый из которых больше $i+1$; таких разложений, по предположению индукции, меньше, чем $\dfrac k{i+1}$. Если $n$ не делится на $i+1$, то этим всё и ограничивается:
$$
V(k,i)=V(k,i+1)\lt\dfrac k{i+1}\lt\dfrac ki.
$$
Если же $k$ делится на $i+1$, то появляются разложения, в которых присутствует число $i+1$. Если в таком разложении зачеркнуть число $i+1$, то получится разложение числа $\dfrac k{i+1}$ на множители, каждый из которых больше $i$, причём так получаются все разложения числа $\dfrac k{i+1}$ на множители, каждый из которых больше $i$. Следовательно, их число равно $V{\left(\dfrac k{i+1},i\right)}$ и по предположению индукции меньше $\dfrac k{(i+1)\cdot i}$, а общее число разложений оценивается так:
$$
V(k,i)=V(k,i+1)+V{\left(\dfrac k{i+1},i\right)}\lt\dfrac k{i+1}+\dfrac k{(i+1)\cdot i}=\dfrac ki.
$$
