Докажем, что $n$ — квадрат целого числа. Положим $m = x_1 + x_2 + \ldots + x_n$. Тогда $m$ — целое число,
$$\begin{gather*}
m^2 = (x_1 + x_2 + \ldots + x_n)^2 ={}\\
{}=(x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2) + (x_1x_2 + x_2x_3 + \ldots + x_nx_1) + (x_1x_3 + x_2x_4 + \ldots + x_{n-1}x_1 + x_nx_2)+\ldots\\
\ldots+(x_1x_n + x_2x_1 +x_3x_2 + \ldots + x_nx_{n-1}).
\end{gather*}$$
Как следует из условия задачи, в правой части этого равенства сумма чисел в первой скобке равна $n$, а сумма чисел в любой другой скобке равна 0. Значит, $n = m^2$. Задача а) решена.
Посмотрим, при каких $n$ можно подобрать числа $x_1$, ..., $x_n$, удовлетворяющие условию задачи. Как следует из задачи М93, $n$ должно делиться на 4; значит, $n$ — квадрат чётного числа. Если $n=4$, то такие числа подобрать можно: $x_1=x_2=x_3=1$, $x_4=-1$. Следующее возможное значение для $n$ — это 16.
Докажем, что для $n=16$ такие числа $x_1$, ..., $x_{16}$ подобрать нельзя.
Предположим, что заданы числа $x_1$, ..., $x_{16}$, удовлетворяющие условию задачи, и попытаемся прийти к противоречию.
Пусть $m = x_1 + x_2 + \ldots + x_{16}$. Можно считать, что $m\geq0$ (иначе мы могли бы заменить все числа $x_i$ на $-x_i$ без нарушения условий задачи), как было показано, $m^2=n=16$, то есть $m=4$.
Если $p$ из чисел $x_i$ равны $+1$ и $q$ равны $-1$, то $p+q=n=16$ и $p-q=m=4$. Значит, $p=10$, $q=6$
Будем считать, что числа $x_i$ выписаны в вершинах правильного 16-угольника. Отметим звёздочками те вершины, где стоит число $-1$ (всего 6 звёздочек). Пусть мы повернули всю картину на $\dfrac{k}{16}$ частей полного оборота ($k=1$, 2, $\ldots$, 15).
Докажем, что при этом ровно 2 звёздочки перейдут в вершины, где раньше были звёздочки. Действительно, пусть $r$ чисел, равных $-1$, перешли на места, где стояли $-1$. Тогда в сумме $x_1x_{k+1}+x_2x_{k+2}+\ldots+x_{16-k+1}x_1$ будет $(6-r)$ слагаемых, в которых первый сомножитель равен $-1$, а второй $+1$, и $(6-r)$ слагаемых, в которых второй сомножитель равен $-1$, а первый $+1$; значит, $2(6-r)$ слагаемых, равных $-1$.
Так как сумма равна 0, то $2(6-r)=8$, то есть $r=2$.
Теперь можно переформулировать нашу задачу следующим образом: можно ли в вершинах правильного 16-угольника расставить 6 звёздочек так, чтобы две из них стояли в противоположных вершинах, и для любого числа $k$ от 1 до 7 существовало бы ровно две пары звёздочек таких, что расстояние между звёздочками в одной паре равно $k$ (под расстоянием между двумя точками понимается длина меньшей из дуг, их соединяющих, причём длина всей окружности принята за 16 частей; расстояние между точками $X$ и $Y$ мы будем обозначать $(XY)$.
Обозначим через $A$ и $B$ диаметрально противоположные точки, отмеченные звёздочкой, и через $C$, $D$, $E$, $F$ — другие отмеченные точки. Подсчитаем сумму всех расстояний между точками $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$. Расстояние 8 встречается один раз, а расстояния от 1 до 7 по два раза — итого общая сумма $2(1+2+3+4+5+6+7)+8 = 64$.
Посмотрим, какие расстояния реализуются между точками $C$, $D$, $E$, $F$. Так как $(AX) + (BX) = 8$ для любой точки $X$, то сумма $\Sigma$ всех расстояний между точками $C$, $D$, $E$, $F$ равна $64 - (AB) - 4\cdot8 = 24$. Кроме того, если какое-то расстояние $k$ реализуется между точками $C$, $D$, $E$, $F$, то это значит, что среди чисел $(AC)$, $(AD)$, $(AE)$, $(AF)$ и $(BC)$, $(BD)$, $(BE)$, $(BF)$ $k$ встречается меньше двух раз; но тогда и $(8-k)$ встречается меньше двух раз, то есть $(8-k)$ тоже реализуется как расстояние между точками $C$, $D$, $E$, $F$. Посмотрим, как же могут располагаться точки $C$, $D$, $E$, $F$. Легко проверить, что возможны два случая.
1) Какие-то три точки (например, $C$, $D$, $E$) образуют треугольник, содержащий центр окружности. Пусть $F$ лежит между $C$ и $D$. Тогда
$$\begin{gather*}
(CD)+(DE)+(CE)=16,\\
(CF)+(DF)=(CD),
\end{gather*}$$
и, кроме того, $(EF)$ больше $(CE)$ или $(DE)$. Так как и $(CD)+(DE)\gt 8$ и $(CD)+(CE)\gt 8$, то $$
\Sigma = (CD)+(DE)+(CE)+(CF+(DF)+(EF)=16+(CD)+(EF)\gt24,
$$
хотя, как мы показали раньше, эта сумма должна равняться 24. Значит, первый случай невозможен.
2) Точки $C$, $D$, $E$, $F$ лежат с одной стороны от некоторого диаметра. Пусть они расположены по окружности в следующем порядке $C$, $D$, $E$, $F$. Тогда $(CD)+(DF)=(CF)$ и $(CE)+(EF)=(CF)$, поэтому сумма $\Sigma$ равна $3(CF)+(DE)$. Значит, $3(CF)+(DE)=24$. Так как $CF\gt DE$, то $(CF)=7$, $(DE)=3$. Если $(CD) = 1$, то $(DF) = 6$; но при этом расстояние $2 = 8 - 6$ не реализуется между точками $C$, $D$, $E$, $F$, что противоречит ранее доказанному. Если $(CD)=2$, то хотя $(CF) = 7$, расстояние 1 не реализуется. Если $(CD)=3$, то $(EF)=1$, и этот случай не отличается от случая $(CD)=1$.
Итак, мы получили, что расставить звёздочки требуемым способом (а значит, и подобрать числа $x_i$) нельзя. Задача б) решена.
Ответ на вопрос в) нам не известен, но, по-видимому, удовлетворяющие условию задачи числа можно подобрать только при $n=4$.
