Задача М131‍‍

Мы решим задачу, используя известные теоремы об угле между двумя секущими (рис. 6). Обозначения ясны из рисунка 7. Поскольку $PN$‍‍ и $QK$‍‍ — биссектрисы, то $\alpha_6-\alpha_1=\alpha_5-\alpha_2$‍,‍ $\alpha_7-\alpha_4=\alpha_8-\alpha_3$‍.‍

Сложив эти два равенства, получим $$ \alpha_6+\alpha_7+\alpha_2+\alpha_3=\alpha_1+\alpha_4+\alpha_5+\alpha_8, $$ следовательно, сумма дуг в каждой части последнего равенства равна половине окружности. Поэтому прямые $PN$‍‍ и $QK$‍‍ перпендикулярны друг другу. Отсюда следует, что в треугольнике $KPM$‍‍ биссектриса угла $P$‍‍ является одновременно высотой; тогда она одновременно является и медианой; треугольник $KPM$‍‍ равнобедренный. То же самое можно сказать о треугольнике $LQN$‍.‍ Таким образом, в четырехугольнике $KLMN$‍‍ диагонали делят друг друга пополам и взаимно перпендикулярны, поэтому он — ромб.