Задача М1290‍‍‍

Ответ: наименьшее возможное значение $p$‍‍ равно 15 и достигается при складывании гармошкой сначала в одном направлении, а потом — в другом.

Докажем, что при любом складывании найдутся две соседние по стороне клетки с разностью номеров не менее 15.

Каждый из 14 отрезков длины 8, которыми квадрат поделён на клетки, при складывании перешёл в отрезок (той же или меньшей длины); некоторые отрезки могут целиком совпасть и в дальнейшем складываются вместе.

Рассмотрим некоторый отрезок длины 8, который при складывании перешёл в отрезок длины 1, по которому проводится последнее складывание — когда книжечка $2\times 1$‍‍ складывается в одну клетку $1\times 1$‍;‍ причём выберем этот «красный» отрезок так, чтобы по одну и другую его стороны на квадрате лежали точки, находящиеся перед последним складыванием в двух разных клетках книжечки $2\times 1$‍.‍ Рассмотрим 8 пар клеток квадрата, разделённых красным отрезком (на рисунке они соединены голубыми дужками). При последнем складывании какая-то из этих пар окажется наружной: между соответствующими страницами будет не менее 14 других, поэтому разность их номеров не менее 15.