Целые числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ таковы, что их сумма равна 1. Для каждого $k$ от 1 до $n$ через $N_k$ обозначим количество положительных чисел среди $n$ сумм:
$$
a_k,\quad a_k+a_{k+1},\quad \ldots,\quad a_k+a_{k+1}+\ldots+a_n+a_1+\ldots+a_{k-1}.
$$
Докажите, что все $N_k$ различны.
Будем считать, что числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ написаны возле точек $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$, расположенных по часовой стрелке на окружности. Условимся говорить, что точка $A_k$ мажорирует точку $A_j$, и записывать это в виде $A_k\gt A_j$, если сумма всех чисел от $a_k$ до $a_{j-1}$ по часовой стрелке положительна. (Разумеется, под $a_0$ понимается $a_n$.) Тогда из условия, что сумма всех чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ равна 1, вытекают два следующих свойства:
1) Если $A_k\gt A_j$ и $A_j\gt A_i$, то $A_k\gt A_i$. (Здесь нуждается в объяснении лишь случай, изображённый на рисунке, когда дуги $A_kA_j$ и $A_jA_i$ накладываются друг на друга. При этом сумма чисел на одной и другой дуге не меньше $1+1=2$, на всей окружности сумма равна $-1$, следовательно, сумма чисел на дуге $A_kA_i$ не меньше 1.)
2) Для любых двух точек $A_k$ и $A_j$ либо $A_k\gt A_j$, либо $A_j\gt A_k$.
Остаётся заметить, что $N_k$ — это число точек, которые мажорирует точка $A_k$. Отсюда следует, что все эти числа различны. В самом деле, если $A_k\gt A_j$ и $A_j$ мажорирует $N_j$ некоторых точек, то $A_k$ мажорирует согласно свойству 2) все эти точки и ещё по крайней мере одну — $A_j$, поэтому $N_k\gt N_j$.
