Задача М1281‍‍

У этой задачи есть много разных решений, использующих простые неравенства для двух положительных чисел: $$ \dfrac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy},\qquad \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge 2 $$ и т. п.

Приведём четыре из них, предлагая читателю выбрать самое симпатичное на свой вкус.

1. Условие $ab \gt a+b$‍‍ запишем так: $$ (a-1)(b-1)\gt 1. $$ Обе скобки должны быть положительными (ведь если $0\lt a\lt 1$‍‍ и $0\lt b\lt 1$‍,‍ то $(a-1)(b-1)\lt 1.$‍).‍ Тогда, согласно неравенству между средними арифметическим и геометрическим чисел $a-1$‍‍ и $b-1$‍‍ имеем $$ a-1+b-1 \ge 2\sqrt{(a-1)(b-1)}\gt2. $$ Отсюда $a+b\gt4$‍.‍

2. Данное условие эквивалентно тому, что среднее гармоническое чисел $a$‍‍ и $b$‍‍ больше 2: $$ \left( \dfrac{a^{-1}+b^{-1}}{2} \right) ^{-1}=\dfrac{2ab}{a+b}\gt2. $$ Но среднее арифметическое не меньше среднего гармонического: $$ \dfrac{a+b}{2}\ge \dfrac{2ab}{a+b}, \qquad\text{так как}\quad (a-b)^2\ge0. $$ Отсюда $a+b\gt4$‍.‍

3. Поделив данное условие на $a$‍‍ и на $b$‍,‍ получаем $$ a\gt\dfrac{a}{b}+1, \qquad b\gt\dfrac{b}{a}+1, $$ откуда $$ a+b\gt\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+2\ge4. $$

4. Продолжив условие влево очевидным неравенством $$ \dfrac{(a+b)^2}{4}\ge ab\gt a+b, $$ для $S=a+b$‍‍ получим $\dfrac{S^2}{4}\gt S$‍,‍ или $S^2\gt4S$‍,‍ откуда (поскольку $S\gt0$‍)‍ $S\gt4$‍.‍