Пусть $BK$ — медиана треугольника $ABC$ — делится вписанной окружностью на равные отрезки $BM = MN = NK = x$, $AB = c$, $BC = a$, $CA = b$ и $T$ — точка касания вписанной окружности со стороной $BC$ (рис. 2).
Рисунок 2
Нам понадобятся следующие два соотношения, справедливые для любого треугольника $ABC$:
$$
\begin{gathered}
a+c-b=2BT,\\
2a^2+2c^2-b^2=4BK^2
\end{gathered}
$$
(первое выводится из равенств $BT+CT=a$, $BT-CT=c-b$; второе легко доказать, достроив треугольник до параллелограмма $ABCD$. Из второго равенства находим
$$
2a^2+2c^2-b^2=36x^2. \tag{1}
$$
Поскольку $BT^2=BM\cdot BN$, то $$
(a+c-b)^2=8x^2. \tag{2}
$$
Наконец, поскольку точки $B$ и $K$, очевидно, одинаково удалены от центра вписанной окружности, то $BC=KC$, откуда
$$
b=2a. \tag{3}
$$
Подставляя (3) в (1) и (2), находим $c^2-a^2=18x^2$, $(c-a)^2=8x^2$.
Из этих равенств получим (ясно, что $c-a\neq 0$, $x\neq 0$):
$$
\dfrac{c+a}{c-a}=\dfrac{9}{4},
$$
откуда
$$\dfrac{c}{a}=\dfrac{13}{5}.$$
Ответ: $a:b:c = 5:10:13$.
Нетрудно проверить, что в треугольнике с таким отношением сторон медиана стороны $b$ действительно разделится вписанной окружностью на три равные части (при проверке удобно пользоваться теми же формулами, которые применялись выше).
