Задача М1274‍‍

Пусть $$a_k=k+\dfrac{1}{k+1+\dfrac{1}{\ldots+\dfrac{1}{n-1}}},\qquad b_k=k+\dfrac{1}{k+1+\dfrac{1}{\ldots+\dfrac{1}{n-1+\dfrac{1}{n}}}} $$ — «хвосты» двух данных цепных дробей, начинающиеся с $k$‍,‍ и $h_k$‍‍ — абсолютная величина разности между ними. Тогда $$ a_{k-1}-b_{k-1}=\dfrac{1}{a_k}-\dfrac{1}{b_k}=\dfrac{b_k-a_k}{a_kb_k}, $$ так что $h_{k-1} \lt \dfrac{h_k}{k^2}$‍‍ при $k=2$‍,‍ 3, $\ldots$‍,‍ $n-1$‍‍ (поскольку $a_k \gt k$‍‍ и $b_k \gt k$‍);‍ $h_{n-1}=\dfrac{1}{n}$‍.‍ Отсюда интересующая нас разность оценивается так: $$ h_1 \lt \dfrac{h_2}{2^2} \lt \dfrac{h_3}{2^23^2} \lt \ldots \lt \dfrac{h_{n-1}}{2^23^2\ldots(n-1)^2}=\dfrac{1}{(n-1)!n!}. $$