Пусть точки $C_1$, $A_1$ и $B_1$ делят стороны $c=AB$, $a=BC$ и $b=CA$ соответственно на отрезки $p$ и $u$, $q$ и $v$, $r$ и $w$ (рис. 1). Поскольку площадь треугольника с данным углом пропорциональна произведению сторон, образующих этот угол, площадь $S$ голубого треугольника равна площади всего треугольника $S_{ABC}$, умноженной на коэффициент
$$
1-\dfrac{qu}{ca}-\dfrac{rv}{bc}-\dfrac{pw}{ab}=\dfrac{abc-bqu-arv-cpw}{abc}.
$$
Подставив вместо $a$, $b$, $c$ суммы $p+u$, $q+v$, $r+w$ и вспомнив известную формулу $S_{ABC}=\dfrac{abc}{4R}$, мы получим красивую формулу площади голубого треугольника
$$
S=\dfrac{pqr+uvw}{4R},
$$
но она отличается от той, которую требовалось доказать. Теперь воспользуемся теоремой Чевы, согласно которой при любом выборе точки $X$ внутри треугольника $ABC$ верно равенство
$$
pqr=uvw.\tag{*}
$$
Из равенства (*) и $\varPi=pqruvw$ следует, что $$
\varPi=\dfrac{(pqr+uvw)^2}4,
$$
а значит, и требуемая формула для $S$.
Рис. 1Рис. 2 (теорема Чевы)
Для доказательства формулы (*) можно также использовать площади. Отношение площадей треугольников $AXB$ и $CXB$ с общим основанием $XB$ равно отношению их высот, т. е. $\dfrac wr$ (рис. 2). Перемножая три таких отношения, получим
$$
\dfrac pu\cdot\dfrac qv\cdot\dfrac rw=
\dfrac{S_{BXC}}{S_{CXA}}\cdot\dfrac{S_{CXA}}{S_{AXB}}\cdot\dfrac{S_{AXB}}{S_{BXC}}=1.
$$
