Докажем утверждение a). Пусть расстояние $a$ для точек $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_7$ плоскости повторяется самое большее $k$ раз. Обозначим через $n_i$ количество отрезков длины $a$, выходящих из точки $A_i$. Не нарушая общности, можем считать, что $n_1\ge n_2\ge\ldots\ge n_7$.
Заметим, что $n_1+n_2\le9$. Действительно, в противном случае на окружностях с центрами $A_1$ и $A_2$ и радиусом $a$ из 7 точек найдутся самое меньшее $n_1+(n_2-2)\ge8$ точек, что невозможно.
Ясно, что из точек $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ расстояние между какими-то двумя точками не равно $a$. Пусть $A_iA_j\ne a$ ($i\ne j$). В этом случае на окружностях с центрами $A_i$, $A_j$ и радиусом $a$ найдутся самое меньшее $n_i+n_j-2$ точек, так как точки $A_i$ и $A_j$ не находятся на указанных окружностях, значит, $n_i+n_j-2+2\le7$. Поэтому $n_3+n_4\le n_i+n_j\le7$, отсюда имеем $n_4\le3$, тем самым $n_7\le n_6\le n_5\le3$.
Поэтому
$$
k=\dfrac12((n_1+n_2)+(n_3+n_4)+n_5+n_6+n_7)\le\dfrac12(9+7+3+3+3),
$$
откуда $k\le12$.
Пример очевиден (рис. 1) в правильном шестиугольнике со стороной $a$, расстояние $a$ для вершин и центра повторяется 12 раз. Значит, $k=12$.
Для задачи б) аналогичное рассуждение даёт оценку
$$
k\le\dfrac12(8+6+3+3)=10.
$$
Однако легко проверить, что наборы $n_1=5$, $n_2=\ldots=n_6=3$ и $n_1=n_2=4$, $n_3=\ldots=n_6=3$ невозможны (в последнем случае для точки $A_i$ — единственной, не лежащей на окружности радиуса $a$ с центром $A_1$ — $n_i\le2$).
Интересно было бы найти точное (или хотя бы «асимптотически» точное) значение $k$ для аналогичной задачи про $n$ точек плоскости. Можно доказать, что $\dfrac{k_n}{n^2}\to0$ при $n\to\infty$, но мы не знаем, верно ли (хотя это и правдоподобно), что $k\le Cn$ при некотором $C$, и тем более не умеем находить наименьшее значение $C$. Вполне вероятно, что наименьшее из попарных расстояний между $n$ точками может повторяться не более $3n-9$ раз.
